[論文レビュー] Topological Poincaré type inequalities and lower bounds on the infimum of the spectrum for graphs

Daniel Lenz, Marcel Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、抵抗および擬距離といった幾何的に動機付けられた計量を導入することで、直径や内接半径を用いて、グラフ上におけるトポロジカルPoincaré型不等式の最良定数を特徴付ける。任意の確率測度のもとでラプラシアンのスペクトルギャップと関連する変分公式を導出し、スレッターのギャップおよび高次固有値に対する鋭い下界を得る。有限グラフでは、古典的境界よりも要因4の改善が得られる。

ABSTRACT

We study topological Poincaré type inequalities on general graphs. We characterize graphs satisfying such inequalities and then turn to the best constants in these inequalities. Invoking suitable metrics we can interpret these constants geometrically as diameters and inradii. Moreover, we can relate them to spectral theory of Laplacians once a probability measure on the graph is chosen. More specifically, we obtain a variational characterization of these constants as infimum over spectral gaps of all Laplacians on the graphs associated to probability measures.

研究の動機と目的

• 測度を参照せずにトポロジカルPoincaré不等式（TPI）を満たすグラフを特徴付けること。
• 抵抗に基づく計量における直径や内接半径といった幾何的不変量を用いて、TPIにおける最良定数を特定すること。
• すべてのグラフ上の全単位測度に対して、これらの定数がラプラシアンのスペクトルギャップの下界として現れることを示し、スペクトル理論と結びつけること。
• Poincaré定数を用いて、ラプラシアンのスペクトルの最小固有値および高次固有値に対する下界を導出すること。

提案手法

• すべての $ x,y \in X $ および $ f \in \mathcal{D} $ に対して $ |f(x) - f(y)|^2 \leq \delta(x,y)\mathcal{E}(f) $ を満たすグラフ上の擬距離 $\delta$ を定義し、不等式をこの計量におけるグラフの直径に関連付ける。
• 抵抗計量 $r$ 及びその変種 $r'$ と $r_\Omega$ を導入し、最良定数 $c_P$ を $\mathrm{diam}_{r'}(X)$ または $\mathrm{Inr}_{r_\Omega}(\Omega)$ として幾何的に解釈する。
• 変分原理を用いて、最良定数 $c_P$ が、グラフ上に全単位測度を持つすべてのラプラシアンの第二ノイマン固有値の下界に一致することを示す。
• 最小-最大原理およびPoincaré型推定を用い、高次固有値 $\lambda_{n+1}$ を $c_P$、$m(X\setminus F)$、および $c_P^{X\setminus F}$ の項で評価する。
• 標準的コンパクト化可能なグラフに対して、最良定数 $c_P$ が抵抗計量 $r'$ における直径に等しく、$c_P = \mathrm{diam}_{r'}(X)$ であることを確立する。
• 第一非ゼロ固有値に対するスペクトルギャップの下界が $4 / (c_P m(X))$ で与えられ、古典的境界よりも要因4改善されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限エネルギー関数すべてに対して $\|f\|_{\infty}^2 \leq c\mathcal{E}(f)$ の形のトポロジカルPoincaré不等式を満たすグラフはどれか？
• RQ2 直径や内接半径といった計量を用いて、このような不等式における最良定数 $c_P$ を幾何的に特徴付ける方法は何か？
• RQ3 任意のグラフ上の確率測度のもとで、最良定数 $c_P$ とラプラシアンのスペクトルギャップとの関係は何か？
• RQ4 Poincaré不等式を用いて、グラフ上のノイマンラプラシアンの高次固有値を評価できるか？
• RQ5 関数が $\Omega$ の外で消えるような制限付きPoincaré不等式における定数（例：$\Omega$ の外でゼロ）は、スペクトル不変量とどのように関係するか？

主な発見

• すべての有限エネルギー関数に対してトポロジカルPoincaré不等式の最良定数 $c_P$ は、抵抗計量 $r'$ におけるグラフの直径に等しく、すなわち $c_P = \mathrm{diam}_{r'}(X)$ である。
• 有限な組合せ的グラフに対しては、古典的推定よりも要因4の改善が得られ、$\lambda_1 \geq 4 / (c_P m(X))$ が成り立つ。
• 最良定数 $c_P$ は、グラフ上に全単位測度を持つすべてのラプラシアンの第二ノイマン固有値の下界として特徴づけられる。
• 関数が適切な部分集合 $\Omega$ の外で消える場合、最良定数 $c_P^\Omega$ は計量 $r_\Omega$ における $\Omega$ の内接半径に等しく、$c_P^\Omega = \sup_{\Omega' \subsetneq X} \mathrm{Inr}_{r_{\Omega'}}(\Omega')$ である。
• 第一非ゼロ固有値 $\lambda_1$ は $\lambda_1 \geq 4 / (c_P m(X))$ を満たし、$n \geq 1$ のとき高次固有値 $\lambda_{n+1} \geq 1 / (c_P^{X\setminus F} m(X\setminus F))$ が成り立つ。ここで $F$ は $n$ 個の点からなる集合である。
• スペクトルギャップは $4 / (c_P m(X))$ で下から抑えられ、この境界は $\lambda_1$ に対して鋭く、定理3.6における変分的特徴づけによって示されている。