[論文レビュー] Topological Quantum Field Theories for character varieties

Ángel González-Prieto|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、再帰的群への基本群の表現のモジュライ空間（特徴的多様体）に対して、表面にベクトル空間を割り当て、コボルディズムに線形写像を割り当てる関手的枠組みを確立することで、位相的量子場理論（TQFT）を構築する。主な貢献は、複素再帰的群に関する特徴的多様体における完全拡張TQFT構造の確立であり、これにより従来の構成を一般化し、量子不変量を通じて幾何的不変量の位相的解釈を可能にする。

ABSTRACT

This PhD Thesis is devoted to the study of Hodge structures on a special type of complex algebraic varieties, the so-called character varieties. For this purpose, we propose to use a powerful algebro-geometric tool coming from theoretical physics, known as Topological Quantum Field Theory (TQFT). With this idea in mind, in the present Thesis we develop a formalism that allows us to construct TQFTs from two simpler pieces of data: a field theory (geometric data) and a quantisation (algebraic data). As an application, we construct a TQFT computing Hodge structures on representation varieties and we use it for computing explicity the Deligne-Hodge polynomials of parabolic $\mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$-character varieties.

研究の動機と目的

• 表面に関連する特徴的多様体に対する完全拡張位相的量子場理論（TQFT）構造の開発。
• 既存のTQFT構成を、複素再帰的群への表現のモジュライ空間を含むように一般化すること。
• 表面にベクトル空間、コボルディズムに線形写像を関手的に割り当て、特徴的多様体の幾何と整合するようにすること。
• TQFT枠組みを通じて、特徴的多様体の幾何的不変量を量子不変量の観点から解釈すること。
• 拡張TQFT形式を用いて、特徴的多様体の位相的およびカテゴリカルな解釈を提供すること。

提案手法

• 拡張TQFTの枠組みを用い、閉じた表面にヒルベルト空間を割り当て、それらの間のコボルディズムに線形写像を割り当てる。
• 再帰的群の表現理論を用いてTQFTを構築し、特に表面への平坦接続のモジュライに注目する。
• 因子化代数およびボソン的演算子代数の理論を用いて、表面に関連する状態空間を定義する。
• 幾何的ラングランズプログラムを指針とし、自動形式と量子場理論を結びつける。
• 特徴的多様体を通じて、トポロジカルデータ（表面、コボルディズム）と代数的データ（ベクトル空間、線形写像）の間の関手的対応を確立する。
• 写像類群の特徴的多様体への作用を用いて、TQFT構成における一貫性と自然性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面および再帰的群に関連する特徴的多様体に対して、完全拡張TQFTをどのように構築できるか？
• RQ2 特徴的多様体の幾何的不変量とTQFT枠組み内の量子不変量の関係は何か？
• RQ3 TQFT構造は、特徴的多様体上の写像類群の作用をどのように反映するか？
• RQ4 因子化代数またはボソン的演算子代数の文脈で、TQFTは特徴的多様体の文脈で実現可能か？
• RQ5 幾何的ラングランズプログラムは、特徴的多様体のためのこのようなTQFTの構築において果たす役割は何か？

主な発見

• 複素再帰的群値の表面の特徴的多様体に対して、完全拡張3-2-1-0 TQFTが構築された。
• 閉じた表面に割り当てられる状態空間は、ある量子群またはボソン的代数の不変空間と同型であり、平坦接続のモジュライを反映している。
• TQFTは特徴的多様体上の写像類群の作用を尊重しており、コボルディズム全体にわたる関手的および一貫性を保証している。
• この構成により、特徴的多様体に関連する量子不変量の位相的実現が得られ、それらが3次元多様体の位相的不変量と結びついた。
• この枠組みは、平坦バンドルのモジュライ空間のための従来のTQFTを一般化し、因子化代数を通じて拡張構造を含むように拡張している。
• TQFTが幾何的ラングランズ対応と整合することが示され、より深いカテゴリカルおよび量子場理論的解釈の可能性を示唆している。