[論文レビュー] Topological Quantum Phase Transitions Retrieved from Manifold Learning

Yanming Che, Clemens Gneiting+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2020

Complex Network Analysis Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、運動量空間におけるトポロジカル量子相転移を検出するために、チェビシェフ距離を用いた教師なし多様体学習手法を提案する。チェビシェフ距離に基づく類似度行列を構築することで、異なるトポロジカル相に対応する相関のないクラスタ構造が明らかとなり、ユークリッド距離を上回る性能を示し、SSH、QWZ、クエンチドSSHなどのモデルにおける相転移の正確で一般的な検出を可能にする。

ABSTRACT

The discovery of topological features of quantum states plays a central role in modern condensed matter physics and various artificial systems. Due to the absence of local order parameters, the detection of topological phase transitions remains a challenge. Machine learning may provide effective methods for identifying topological features. In this work, we show that manifold learning can successfully retrieve topological quantum phase transitions in momentum space. Our results show that the Chebyshev distance (CD) between two data points can successfully capture the main features of topological phase transitions, while the widely used Euclidean distance in general fails. The similarity matrix built upon the CD thus naturally exhibits uncorrelated cluster structures, corresponding to distinct sectors in the topological phase diagram. Then a diffusion map is applied to implement dimensionality reduction and to learn about topological quantum phase transitions in an unsupervised manner. Our demonstrations on the Su-Schrieffer-Heeger (SSH) model, the 2D Qi-Wu-Zhang (QWZ) model, and the quenched SSH model show the capability of generic unsupervised learning, when equipped with a suitable distance metric, in exploring topological quantum phase transitions.

研究の動機と目的

• 局所的秩序パラメータを持たない量子系におけるトポロジカル相転移の検出という課題に対処すること。
• 多様体学習手法が、相境界の事前知識なしにトポロジカル特徴をどのように明らかにできるかを調査すること。
• 特にチェビシェフ距離とユークリッド距離の比較を通じて、異なる距離尺度がトポロジカル転移をどれほど効果的に捉えられるかを評価すること。
• SSH、QWZ、クエンチドSSHモデルを含む複数の量子モデルへの一般化可能性を示すこと。

提案手法

• 運動量空間におけるデータポイント間のチェビシェフ距離（CD）を用いて、相関のないクラスタ構造を明らかにする類似度行列を構築する。
• CDに基づく類似度行列を入力として、拡散マップを用いた次元削減を実行し、教師なしでトポロジカル特徴を抽出する。
• 高次元の運動量空間データを、トポロジカル相の区別を保ちながら低次元化するための拡散マップアルゴリズムを適用する。
• 一般化可能性を評価するため、Su-Schrieffer-Heeger（SSH）モデル、2次元Qi-Wu-Zhang（QWZ）モデル、クエンチドSSHモデルに対して本手法を検証する。
• CD尺度が、広く用いられるユークリッド距離よりも、トポロジカル転移をより効果的に捉えられることを示す。
• 得られた低次元埋め込みを用いて、位相図における異なる相に対応する明確なトポロジカルセクターを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な距離尺度を用いた多様体学習は、局所的秩序パラメータが存在しない状況でも、トポロジカル量子相転移を検出可能か？
• RQ2 運動量空間において、チェビシェフ距離はユークリッド距離に比べて、どのようにトポロジカル相境界を明らかにするか？
• RQ3 本手法は、SSH、QWZ、クエンチドSSHモデルなどの異なるトポロジカルモデルへどの程度一般化可能か？
• RQ4 チェビシェフ距離から構築された類似度行列は、明確に異なるトポロジカル相に対応するクラスタ構造を自然に示すか？
• RQ5 CDに基づく類似度行列に拡散マップを適用することで、教師なしでトポロジカル転移を同定可能か？

主な発見

• チェビシェフ距離はトポロジカル相転移の主要な特徴を的確に捉えているのに対し、ユークリッド距離はその機能を果たさない。
• チェビシェフ距離から構築された類似度行列は、位相図における明確な異なるトポロジカル相に対応する相関のないクラスタ構造を示している。
• CDに基づく類似度行列に拡散マップを適用することで、効果的な教師なし次元削減とトポロジカル相の検出が可能である。
• 本手法は、Su-Schrieffer-Heeger（SSH）モデル、2次元Qi-Wu-Zhang（QWZ）モデル、クエンチドSSHモデルにおいて、トポロジカル相転移を的確に同定できた。
• 適切な距離尺度を用いた教師なし機械学習の一般化可能性が、トポロジカル量子相転移の検出において実証された。
• 距離尺度の選択が極めて重要であることが示された——運動量空間におけるトポロジカル情報を保持する観点から、チェビシェフ距離はユークリッド距離を上回る有効性を示した。