[論文レビュー] Topological Terms and Phases of Sigma Models

Ryan Thorngren|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可逆的トポロジカルなσ模型の境界条件を分析することで、異常マッチングおよび対称性保護型トポロジカル秩序を一般化し、σ模型に応用する。境界理論の異常に関する制約と相転移を導出し、σ模型におけるトポロジカル項が安定した境界モードおよび非自明な相図をもたらすことを示す。主な結果として、境界における't Hooft異常マッチングの版と、フェルミオンゼロモードを用いたトポロジカル遷移の特徴付けが得られる。

ABSTRACT

We study boundary conditions of topological sigma models with the goal of generalizing the concepts of anomalous symmetry and symmetry protected topological order. We find a version of 't Hooft's anomaly matching conditions on the renormalization group flow of boundaries of invertible topological sigma models and discuss several examples of anomalous boundary theories. We also comment on bulk topological transitions in dynamical sigma models and argue that one can, with care, use topological data to draw sigma model phase diagrams.

研究の動機と目的

• ゲージ理論を超えて一般のσ模型へと、異常のある対称性および対称性保護型トポロジカル（SPT）秩序の概念を一般化すること。
• 特に異常流入メカニズムを通じて、可逆的トポロジカルなσ模型の境界理論に物理的制約を導出すること。
• トポロジカルデータが動的σ模型の相図を構築するためにどのように利用できるかを調査すること。
• ギャップ閉じる遷移がσ模型で発生する場合、トポロジカル秩序および境界モードにどのような影響を与えるかを分析すること。

提案手法

• ホモトピー理論を用いて、π₀(Maps(M,X))によるσ:M→Xの写像を分類し、ホモトピー類をトポロジカルセクターとして扱う。
• コhomology類ω∈Hᴰ(BG,U(1))のプッシュバックを用いて、Dijkgraaf-Witten型のトポロジカル項を定義し、トポロジカル作用を導入する。
• 境界条件を分析する際、トポロジカル項のゲージ変換を検討し、対称性の破れまたは異常のある境界自由度の必要性を要求する。
• トポロジカル項がソリトン電荷および境界挙動に与える影響を調べるために、Z_twist = Z₀ × Z_top として変形された twisted σ模型を導入する。
• N×S¹上の分配関数を分析し、グローバル対称性のキャラクターχ(g)を用いてソリトン電荷を抽出し、トポロジカル遷移を検出する。
• スピン構造およびフェルミオンパリティを用いて異常を同定し、特に臨界点におけるゼロモードの存在を特に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆的トポロジカルなσ模型の境界に対して、't Hooft異常マッチング条件はどのように一般化されるか？
• RQ2 非自明なトポロジカル項を有するσ模型の境界理論に、どのような物理的制約が生じるか？
• RQ3 ターゲット空間のコhomology類から得られるトポロジカルデータは、動的σ模型の相図を構築するために利用可能か？
• RQ4 σ模型におけるギャップ閉じる遷移が発生した場合、トポロジカル秩序および境界モードはどのように変化するか？
• RQ5 臨界点におけるフェルミオンゼロモードは、可逆的トポロジカル秩序の破綻をどのように示唆するか？

主な発見

• 可逆的トポロジカルなσ模型の境界に対して、't Hooft異常マッチングの版が導出され、その低エネルギー行動が制約される。
• 異常のある境界理論は、ギャップがないか、トポロジカルに秩序されていることが示され、異常流入と整合的である。
• H²(S²,ℤ₂)に属するトポロジカル項を有するσ:M³→S²の写像の場合、境界にはスカーラーのホロノミックなモードが存在し、スカーラーの巻き数に依存する電荷を持つ。
• アーベル・ヒッグス模型にディラックフェルミオンを含む場合、m_ψ=0 においてスカーラー領域にゼロモードが出現し、分配関数Z(S²×S¹,σ,η)が消える。
• これは、可逆的トポロジカル秩序が失われ、臨界点に新たなギャップのない自由度が出現するトポロジカル遷移を示唆する。
• アン twisted S² σ模型と twisted S²×S¹模型の間の遷移が一般に直接的であることが示され、破れた相ではS¹因子がギャップを持つようになる。