[論文レビュー] Topological versus Landau-like phase transitions

Lokman Tsui, Fa Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Quantum many-body systems参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、対称性の自発的破れによって駆動されるランダウ型相転移と、同一の対称性を持つ対称性保護型トポロジカル相の間の相転移を区別することを目的としている。また、d次元のSPT相転移の臨界点が、$G \times Z_2^T$ 対称性を有する(d+1)次元のSPTの境界に写像されるホログラフィー双対性を提案し、臨界励起状態がギャップを持つ境界モードの非局在化版であることを示している。主な結果として、SPT臨界点は$c \geq 1$ かつ射影的表現を有する conformal field theory (CFT) を必要とし、これはユニタリ最小模型（$c<1$）とは両立しないことから、ランダウ型相転移とは明確に区別されることが示された。

ABSTRACT

The study of continuous phase transitions triggered by spontaneous symmetry breaking has brought new concepts that revolutionized the way we understand many-body systems. Recently, through the discovery of symmetry protected topological phases, it is realized that quantum phase transition between states with the same symmetry but different topology can also occur continuously. Here we ask "what distinguishes these two types of phase transitions".

研究の動機と目的

• 対称性の自発的破れによって駆動されるランダウ型相転移（spontaneous symmetry breaking）と、同一の対称性を持つ対称性保護型トポロジカル相の間の相転移との根本的な違いを理解すること。
• d次元のSPT相転移の臨界点が、$G \times Z_2^T$ 対称性を有する(d+1)次元のSPTの境界として実現されるホログラフィック双対性を確立すること。
• 非自明なSPT相のギャップを持つ境界モードの非局在化版として、SPT相転移における臨界励起状態が生じることを示すこと。
• SPT臨界点がユニタリ最小模型（$c<1$）では記述できないこと、これは対称性群の射影的表現の必要性に起因することを示すこと。
• SPT相転移を記述できる最小限の conformal field theory（$c \geq 1$）のクラスを特定し、臨界挙動に関する未解決の問題を検討すること。

提案手法

• $(d+1)$次元のSPT相を構築し、$G \times Z_2^T$ 対称性を有する。ここで$Z_2^T$ はハミルトニアンを複素共役に変え、イジング型の変数を反転させる。
• 各イジング型ドメインウォールが非自明な$G$ 対称性SPTで装飾された状態としてSPTを実現する。
• d次元のSPT相転移を、$Z_2^T$ 対称性を破る境界場によって誘発される、より高次元のSPTの境界に写像する。
• 境界における臨界理論を conformal field theory (CFT) を用いて解析し、正則および反正則なスケーリング次元$h$、$\bar{h}$ を有する一次元演算子を同定する。
• 正確に解けるモデル（例：$SO(3)$ に対してヘイゼンベルグスピンチェーン、$Z_2 \times Z_2$ に対してXXモデル）を用いてCFT記述を検証し、端面励起状態の量子数を一致させる。
• SPT臨界点の中心電荷$c$ と演算子内容を、特に$c<1$ のユニタリ最小模型と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性保護型トポロジカル（SPT）相転移の臨界点は、中心電荷$c<1$ の conformal field theory で記述可能か？
• RQ2 SPT相転移のバルク臨界点が、より高い次元のSPTの境界に写像されるホログラフィー双対性が存在するか？
• RQ3 SPT相転移の臨界励起状態は、非自明なSPT相のギャップを持つ境界モードの非局在化版として生じるか？
• RQ4 なぜSPT臨界点は対称性群の射影的表現を必要とするのか？ これはランダウ型相転移とどのように異なるのか？
• RQ5 SPT相転移を記述できる conformal field theory のクラス（$c \geq 1$ または $c<1$）は何か？ また、臨界点における顕在的対称性に及ぼす影響は何か？

主な発見

• ボソン的SPT相転移の臨界理論は、ユニタリ最小模型（$c<1$）では記述できない。なぜなら、これらの模型には必要なデジェネレートな一次元演算子と射影的表現が欠けているからである。
• 1次元の$SO(3)$ 対称性SPT相転移では、中心電荷$c=1$ の$SU(2)_1$ ベス＝ツミノ＝ウィッテン模型で記述され、スピンオン励起は$SO(3)$ の射影的表現に対応する。
• $Z_2 \times Z_2$ 対称性SPT相転移では、中心電荷$c=1$ のXXモデルで記述され、一次元演算子のスケーリング次元は$h=9/32$、$\bar{h}=1/32$（または逆）であり、$h+\bar{h}=5/16$ である。
• $Z_3 \times Z_3$ 対称性SPT相転移は、中心電荷$c=8/5$ を予測しており、SPT臨界性に必要な条件$c \geq 1$ と整合的である。
• ホログラフィック構成により、SPT相転移が$G \times Z_2^T$ 対称性を有する(d+1)次元SPTの境界に写像され、臨界点は境界での$Z_2^T$ 対称性の破壊によって生じる。
• 結果として、SPT臨界点は$c \geq 1$ のCFTと射影的対称性表現を必要とし、これは最小模型に存在しないことから、ランダウ型相転移とは根本的に異なることが示唆される。