[論文レビュー] Topologically Distinct Lagrangian and Symplectic Fillings

Chang Cao, Nathaniel Gallup+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$S^3$ 内に任意に多くの位相的に異なる正確なラグランジュ的充填をもつ無限に多くのレジェンドリアンリンクを構成し、その充填の位相がトーラス＝ベンヌーイン不変量によって一意に決定されないことを示している。ラグランジュ的ハンドル付加、スピン構成、分岐被覆を組み合わせることで、新しいシンプレクティック充填と、高次元におけるレジェンドリアン部分多様体が任意に大きなチェカノフまたは生成関数ホモロジー不変量をもつ可能性を証明している。

ABSTRACT

We construct infinitely many Legendrian links in the standard contact $\mathbb{R}^3$ with arbitrarily many topologically distinct Lagrangian fillings. The construction is used to find links in $S^3$ that bound topologically distinct pieces of algebraic curves in $B^4 \subset \mathbb{C}^2$, is applied to find contact 3-manifolds with topologically distinct symplectic fillings, and is generalized to higher dimensions.

研究の動機と目的

• レジェンドリアンリンクのラグランジュ的充填の位相が、トーラス＝ベンヌーイン不変量によって一意に決定されないことを示し、チャントラインの定理の自然な拡張に反する。
• ボワルーとフロリエの質問、すなわち $S^3$ 内に、$\mathbb{C}^2$ 内の非同相な代数的曲線を境界にもつリンクの存在を解決する。
• 同じオイラー標数を持つにもかかわらず、位相的に異なる強シンプレクティック充填をもつ接触3次元多様体を構成する。
• 高次元におけるレジェンドリアン部分多様体の構成を拡張し、チェカノフまたは生成関数ホモロジー不変量が任意に大きなものとなるようにする。

提案手法

• シンプレクティック充填の反復的ハンドル付加と同相型変形を用いて、$S^3$ 内のレジェンドリアンリンク $\Lambda_N$ を構成し、$N$ 個の非同相な正確なラグランジュ的充填を得る。
• クネンプの定理とホモロジー計算を用いて、充填の第一ホモロジー群のランクが異なることを示し、位相的非同相性を証明する。
• シンプレクティック充填上での二重分岐被覆構成を適用し、$H_3$-ランクが異なるトランスバーサルリンクの強シンプレクティック充填を生成する。
• スピン構成を用いて2次元の充填を高次元レジェンドリアン部分多様体に拡張し、充填の位相的非同相性を保存する。
• 生成関数とラグランジュ的充填の整合性を用いて、異なる充填が異なる生成関数ホモロジー不変量を誘導することを示す。
• 文献[5]、[36]、[39] の結果を活用し、充填の相対コホモロジーとレジェンドリアン接触ホモロジーおよび生成関数ホモロジーの不変量との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^3$ 内の向き付けられたレジェンドリアンリンクのラグランジュ的充填の位相は、そのトーラス＝ベンヌーイン不変量によって完全に決定されるか？
• RQ2 $S^3$ 内に、$B^4$ と横断的に交わる非同相な複素代数的曲線を境界にもつリンクが存在するか？
• RQ3 接触3次元多様体が、同じオイラー標数を持つにもかかわらず、位相的に異なる強シンプレクティック充填をもつことができるか？
• RQ4 高次元におけるレジェンドリアン部分多様体が、任意に大きなチェカノフまたは生成関数ホモロジー不変量をもつことができるか？

主な発見

• 任意の整数 $N>1$ に対して、$(S^3, \xi_0)$ 内に、$p(N)$ 個の非同相な正確な向き付け可能なラグランジュ的充填をもつレジェンドリアンリンク $\Lambda \subset (S^3, \xi_0)$ が存在する。
• 構成された充填は、異なる第一ベッチ数を持つ：$\operatorname{rank}H_1(L_k) = 2k$ であり、これにより位相的非同相性が証明される。
• この構成により、$\mathbb{C}^2$ 内に $p(N)$ 個の非特異な複素代数的曲線をもち、$B^4$ と交わる部分が互いに非同相となる $S^3$ 内のリンクが得られる。
• 同じオイラー標数を持つが、$\operatorname{rank}H_3(X_k, Y) = k-1$ である $N$ 個の強シンプレクティック充填をもつ接触3次元多様体が存在し、それらがシンプレクティックブローインアップによって関係付けられないことを示す。
• $n>1$ および $N>1$ に対して、$(S^{2n+1}, \xi_0)$ 内に、$N$ 個の非同相な連結な正確なラグランジュ的充填をもつ連結なレジェンドリアン部分多様体が存在する。
• レジェンドリアン部分多様体のチェカノフ数と GF 数は、適合する充填と生成関数を用いて、任意に大きくできる。