[論文レビュー] Topologies on groups determined by sequences: Answers to several questions of I.Protasov and E.Zelenyuk

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2010

Medical and Biological Sciences参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、プロタソフとツェレヌイクが提起した、T-系列によって定まる群の位相に関するいくつかの未解決問題を解決する。整数環 Z における任意の多項式的成長をもつ T-系列の存在を確立し、Z の環において T-系列でないが所望の指数的比をもつ系列を構成する。また、Z 上の2つの T-系列位相の直和が完備でないか、T-系列によって定まらないことがあることを示し、さらに、ある群が T-系列位相と、非自明な収束列を含まない直和をもつ距離化可能な位相を同時に持つ可能性があることを示している。

ABSTRACT

We answer several questions of I.Protasov and E.Zelenyuk concerning topologies on groups determined by T-sequences. A special attention is paid to studying the operation of supremum of two group topologies.

研究の動機と目的

• 整数群 Z 及び関連する位相群における T-系列の存在および構造に関する未解決問題を解決すること。
• 系列の成長率と、それらがゼロに収束する群の位相の存在との関係を調査すること。
• 可算群上の2つの T-系列位相の直和が、常に完備であるか、T-系列によって定まるかどうかを同定すること。
• アーベル群に T-系列位相と距離化可能な位相が共存し、その直和が非自明な収束列を含まないような位相の存在を調査すること。

提案手法

• f(n) = r^n + n^2 などの所望の成長率をもつ系列を Z に構成し、距離および完全有界性の性質を用いて、与えられた距離化可能かつ完全有界な位相でゼロに収束することを示す。
• バナッハのカテゴリーアプローチと近傍系の構成を用いて、与えられた位相 τ における系列のゼロへの収束を検証する。
• 系列 (a_n) が T-系列であることと、非離散ハウスドルフ群位相でゼロに収束することの必要十分条件であるという事実を利用する。
• 直積位相 τ₁ × τ₂ における対角集合が閉でないことを示して、τ₁ ∨ τ₂ の非完備性を証明する。
• 有限台の部分群の帰納的極限を用いて Z^ω_f に位相 τ を構成し、2^nZ 層を用いて距離化可能な位相 τ′ を構成する。
• τ および τ′ における収束を組み合わせ、τ ∨ τ′ で収束する任意の系列は最終的にゼロでなければならないことを示し、非自明な収束列の不在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての既知の T-系列が指数的成長を示すにもかかわらず、Z に多項式的成長をもつ T-系列が存在しうるか？
• RQ2 Z に属する系列の比の極限が r > 1 である場合、その系列は Z の環におけるあるハウスドルフ環位相で T-系列である必要があるか？
• RQ3 可算群上の2つの群位相がそれぞれ T-系列によって定まる場合、その直和は常に完備であるか、T-系列によって定まるか？
• RQ4 可算アーベル群が T-系列位相と距離化可能な群位相を同時に持ち、その直和が非離散的ではあるが非自明な収束列を含まないことはありうるか？

主な発見

• 任意の増大関数 f: N → N で lim(f(n+1)−f(n)) = ∞ を満たし、任意の距離化可能かつ完全有界な群位相 τ に対して、(Z, τ) に属するゼロに収束する系列 (a_n) が存在し、lim(a_n / f(n)) = 1 を満たす。
• 任意の r > 1 に対して、lim(a_{n+1}/a_n) = r を満たす Z の系列 (a_n) が存在し、それは Z の環において T-系列でない。つまり、いかなるハウスドルフ環位相でもゼロに収束しない。
• T-系列によって定まる可算位相アーベル群 G が存在し、G と同相な閉部分群 H を含むが、H は T-系列によって定まらない。
• Z 上に、それぞれ T-系列によって定まる2つの群位相 τ₁, τ₂ が存在し、τ₁ ∨ τ₂ は完備ではなく、したがって T-系列によって定まらない。
• T-系列位相 τ と距離化可能な位相 τ′ をもつ可算アーベル群が存在し、τ ∨ τ′ は非離散的ではあるが非自明な収束列を含まない。
• T-系列 (a_n) および (a_n + c) から構成される Z 上の位相 τ₁ ∨ τ₂ は、各 τ_i が T-系列によって定まるにもかかわらず、完備でない。