[論文レビュー] Topology of Hitchin systems and Hodge theory of character varieties: the case A_1

Mark Andrea de Cataldo, Tamás Hausel+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非アーベルヘッジ理論を用いて、GL₂、PGL₂、SL₂のキャラクターベイリのW=P予想を確立する。具体的には、捩れたヒッグス bundle モジュライ空間のコホモロジーにおける perverse filtration が、対応するキャラクターベイリのコホモロジーにおける重みフィルトレーションと一致することを示す。証明は、整数的スペクトル曲線上のヒッチン分岐の位相を分析し、グロテンディーク・リーマン・ロッホおよびモノドロミー技法を用いて、すべてのケースでフィルトレーションの一致を検証することに依拠する。

ABSTRACT

For G = GL_2, PGL_2 and SL_2 we prove that the perverse filtration associated to the Hitchin map on the cohomology of the moduli space of twisted G-Higgs bundles on a Riemann surface C agrees with the weight filtration on the cohomology of the twisted G character variety of C, when the cohomologies are identified via non-Abelian Hodge theory. The proof is accomplished by means of a study of the topology of the Hitchin map over the locus of integral spectral curves.

研究の動機と目的

• G = GL₂、PGL₂、SL₂ の A₁ 場合において、モジュライ空間上の perverse および 重みフィルトレーションを結びつける W=P 予想を確立すること。
• G = GL₂、PGL₂、SL₂ の場合に、捩れた G-Higgs bundle モジュライ空間のコホモロジーにおける perverse filtration が、捩れた G-キャラクターベイリのコホモロジーにおける重みフィルトレーションと一致することを証明すること。
• 非アーベルヘッジ理論を用いて、両者のコホモロジー間の同型を特定し、フィルトレーションを尊重する形でこの対応を検証すること。
• 整数的スペクトル曲線上のヒッチン分岐の位相を分析し、フィルトレーションの同型を確立すること。
• GL₂/PGL₂ および SL₂ の両ケース、特に D = K_C の場合を含めて、フィルトレーションの一致を確認すること。

提案手法

• G = GL₂ のヒッチン分岐を分析し、曲線 C の被覆上のラインバンドルと関連付けるために、スペクトル曲線の構成を用いる。
• グロテンディーク・リーマン・ロッホ定理を適用し、スペクトル曲線上のユニバーサルヒッグスバンドルのチャーン類、特に自己準同型バンドルのチャーン類を計算する。
• モノドロミー不変量およびコホモロジー上の局所モノドロミー作用を用いて、適切な基底を構成し、消滅条件を検証する。
• 相対的ハード・リーマン定理および原始的分解を用いて、H*(M) 上の perverse filtration 構造を分析する。
• 楕円的領域におけるヒッチン写像の振る舞いを研究し、コホモロジーの上界および下界の推定値を用いてフィルトレーションを制約する。
• デリーニの Q-スプリットおよび精錬された交差形式を適用し、perverse および重みフィルトレーションの整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G = GL₂、PGL₂、SL₂ の場合に、捩れた G-Higgs bundle モジュライ空間のコホモロジーにおける perverse filtration が、対応する捩れた G-キャラクターベイリのコホモロジーにおける重みフィルトレーションと一致するか？
• RQ2 整数的スペクトル曲線上のヒッチン分岐の位相は、perverse filtration 構造にどのように制約を加えるか？
• RQ3 非アーベルヘッジ理論は、Higgs モジュライ空間とキャラクターベイリのコホモロジー間の自然な同型を誘導するが、その同型はフィルトレーションを保存するか、その程度はいかほどか？
• RQ4 スペクトル曲線設定において、モノドロミーはコホモロジー類の正しい perversity を検出するためにどのような役割を果たすか？
• RQ5 ユニバーサルヒッグスバンドルおよびその自己準同型バンドルのチャーン類は、基底への押し出しにおいてどのように振る舞い、これによりフィルトレーションの整合性にどのような含意が生じるか？

主な発見

• G = GL₂、PGL₂、SL₂ の場合に、捩れた G-Higgs bundle モジュライ空間のコホモロジーにおける perverse filtration は、対応する捩れた G-キャラクターベイリのコホモロジーにおける重みフィルトレーションと一致する。
• この一致は、deg D > 2g−2 の場合および D = K_C（正則バンドル）の場合を含むすべてのケースで成立する。
• 一般点におけるヒッチンベース上のファイバーにおいて、c₁(End E) は型 (2,2) を有することが確認され、クラスの正しい perversity が裏付けられる。
• コンパクト化されたモジュライ空間 ˆM 上のクラス α は、双対分岐の一般ファイバー上で 4θ に制限されることから、非常に正であることが示された。
• β および ψ_i のヒッチン写像のファイバーへの制限は消えることが確認され、それらの正しい perversity が支持され、フィルトレーション同型が裏付けられる。
• 一般スペクトル曲線上のファイバーにおいて、c₂(End E) は型 (2,2) を有し、その押し出しは期待される重みフィルトレーション成分と一致する。