[論文レビュー] Topology of representation spaces of surface groups in PSL(2,R) with assigned boundary monodromy and nonzero Euler number

Gabriele Mondello|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、境界モノドロミーが指定され、オイラー数が0でないPGL(2,R)への表面群の表現空間の位相的分類を完成させた。Hitchinの平坦接続とHiggs束の間の対応を、パラボリック（穴あき）の場合に拡張することで、これらの表現空間のコンパクト成分が、角特異点をもつ双曲的計量のモノドロミーにちょうど一致することを証明した。これは、境界挙動が制御された穴あき表面へのuniformization定理の一般化である。

ABSTRACT

In this paper we complete the topological description of the space of representations of the fundamental group of a punctured surface in SL(2,R) with prescribed behavior at the punctures and nonzero Euler number, following the strategy employed by Hitchin in the unpunctured case and exploiting Hitchin-Simpson correspondence between flat bundles and Higgs bundles in the parabolic case. This extends previous results by Boden-Yokogawa and Nasatyr-Steer. A relevant portion of the paper is intended to give an overview of the subject.

研究の動機と目的

• 境界モノドロミーが指定され、オイラー数が0でないPGL(2,R)への表面群の表現空間の位相的記述を完成させること。
• 平坦接続とHiggs束の間のHitchin対応を、パラボリック設定、特に穴あき表面における各穴での指定されたモノドロミーを含めた状況に拡張すること。
• 表現空間のコンパクト成分が、角特異点をもつ双曲的計量のモノドロミーに由来することを特徴づけること。
• 表現空間とパラボリックHiggs束のモジュライ空間との間にホメオモーティズムを確立し、代数幾何学的手法による位相的解析を可能にすること。
• 角特異点と指定されたモノドロミー型をもつ穴あき表面へのuniformization定理を一般化すること。

提案手法

• パラボリック設定における平坦接続とHiggs束の間のHitchin-Simpson対応を用い、表現を安定なパラボリックHiggs束に関連づける。
• 固定されたパラボリック構造と次数制約をもつランク2のパラボリックHiggs束の状況にこの対応を適用する。
• Higgs束のモジュライ空間上の対合の固定点集合を用いて、PSL(2,R)-表現に対応する実部を解析する。
• 調和写像理論を用いる：Higgs場の行列式が消えると、調和写像が等角的になる。これにより、等角的双曲的計量が得られる。
• 角特異点をもつ曲面のuniformization定理（McOwen–Troyanov）を適用し、モノドロミーと整合する双曲的計量を構成する。
• 境界モノドロミーから得られる次数と重みデータを用いて、表現空間と特定のパラボリックHiggs束モジュライ空間の成分との間にホメオモーティズムを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界モノドロミーが指定され、オイラー数が0でないPGL(2,R)への表面群の表現空間のうち、どの成分がコンパクトか？
• RQ2 このような空間内の表現が、角特異点をもつ双曲的計量のモノドロミーとして生じる条件は何か？
• RQ3 Hitchin-Simpson対応は、パラボリックHiggs束にどのように拡張され、穴あき表面における表現空間の位相を記述するか？
• RQ4 境界モノドロミーが指定され、オイラー数が0でないPSL(2,R)-表現のモジュライ空間の正確な位相的構造は何か？
• RQ5 穴あき点における重みと共役類は、関連する双曲的計量の幾何にどのように寄与するか？

主な発見

• コンパクト成分 Rep(Ṡ, PSL(2,R), c̄)_e が存在するための必要十分条件は、曲面の genus g=0 であり、どの穴も双曲的または負のユニポテンツモノドロミーをもたず、オイラー数 e = 1 - ||r||₁ が (0,1] に属することである。
• コンパクト成分に属するすべての表現は、穴あき曲面上の角特異点をもつ双曲的計量のモノドロミーとして生じる。
• コンパクト表現空間に対応するHiggs束成分ではHiggs場が自明（Φ=0）であり、これにより関連する調和写像が等角的であることを示す。
• 角特異点をもつ穴あき球面に一意に存在する双曲的計量のモノドロミーは、形 (L_•^∨ ⊕ L_•, Φ) のパラボリックHiggs束に対応し、Φ = (0 1; 0 0) である。
• 線分束 L_• の次数とパラボリック重みは、角特異点の角度によって決定され、L_• = B(-½δ·P) かつ B² ≅ K_S である。
• 表現空間とパラボリックHiggs束のモジュライ空間との間の対応はホメオモーティズムであり、代数幾何学的手法による位相的分類を可能にする。