[論文レビュー] Topology of the support of the two-dimensional random walk

Frédéric van Wijland, S. Caser+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 1996

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正方格子上の2次元単純対称ランダムウォークのサポート（訪問済みサイト）の位相的性質を、長時間極限において調査する。すべてのグローバルな観測量—訪問済みサイト数、境界長、訪問されていない島の数など—が t/log^k t に比例してスケーリングすることを示し、それらのフラクチュエーションは一様にランダム過程 η(t) に比例しており、これはヴァラダハンの自己交差のリノーマライズド局所時間に収束する。このことは、すべてのフラクチュエーションが面積のフラクチュエーション ΔS(t) に比例することを意味する。

ABSTRACT

We study the support (i.e. the set of visited sites) of a t step random walk on a two-dimensional square lattice in the large t limit. A broad class of global properties M(t) of the support is considered, including, e.g., the number S(t) of its sites; the length of its boundary; the number of islands of unvisited sites that it encloses; the number of such islands of given shape, size, and orientation; and the number of occurrences in space of specific local patterns of visited and unvisited sites. On a finite lattice we determine the scaling functions that describe the averages on appropriate lattice size dependent time scales. On an infinite lattice we first observe that the all increase with t as t/\log^k t, where k is an M dependent positive integer. We then consider the class of random processes constituted by the fluctuations around average Delta M(t). We show that to leading order as t gets large these fluctuations are all proportional to a single universal random process eta(t), normalized to =1$. For t--> infinity the probability law of eta(t) tends to that of Varadhan's renormalized local time of self-intersections. An implication is that in the long time limit all Delta M(t) are proportional to Delta S(t).

研究の動機と目的

• 2次元単純対称ランダムウォークのサポートの位相的性質の長時間挙動を特徴づけること。
• S(t)（訪問済みサイト数）、境界長、訪問されていない島の数などのグローバル観測量 M(t) のスケーリング行動を特定すること。
• 平均 <M(t)> の周囲における統計的フラクチュエーション ΔM(t) を分析し、普遍的スケーリング特徴を同定すること。
• 異なるサポート観測量のフラクチュエーションを結ぶ普遍的関係を、1つのランダム過程 η(t) を通じて確立すること。

提案手法

• t → ∞ の極限において、2次元正方格子上でのtステップの単純対称ランダムウォークのサポートを分析する。
• S(t)（訪問済みサイト数）、境界長、訪問されていない島の数、局所的サイトパターンなどを含む、広いクラスのグローバル観測量 M(t) を検討する。
• 有限格子上では、格子サイズ依存の時間スケールにおける <M(t)> のスケーリング関数を決定する。
• 無限格子上では、<M(t)> の主要項漸近スケーリング <M(t)> ∼ t / log^k t を導出する。ここで k は観測量 M に依存する。
• フラクチュエーション ΔM(t) = M(t) − <M(t)> を分析し、それらがすべて一様にランダム過程 η(t) に比例しており、⟨η²(t)⟩ = 1 を満たすことを示す。
• t → ∞ のとき、η(t) の確率法則がランダムウォークの自己交差のリノーマライズド局所時間であるヴァラダハンの量に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元ランダムウォークのサポートのグローバル位相的性質は、長時間極限 t → ∞ において、時間 t に対してどのようにスケーリングするか？
• RQ2 これらのサポート観測量の平均値の周囲におけるフラクチュエーション ΔM(t) の性質は何か？
• RQ3 すべてのこのような観測量のフラクチュエーションを支配する普遍的ランダム過程は存在するか？
• RQ4 普遍的フラクチュエーション過程は、自己交差理論における既知の量（例えばヴァラダハンのリノーマライズド局所時間）とどのように関係するか？
• RQ5 訪問済みサイト数や閉じ込められた島の数といった、異なるサポート観測量のフラクチュエーションは、どの程度相関しているか？

主な発見

• すべてのグローバル観測量 M(t) は、観測量に依存する正の整数 k を用いて、漸近的に t / log^k t に比例してスケーリングする。
• すべてのこのような観測量のフラクチュエーション ΔM(t) は、一様に単一のランダム過程 η(t) に比例し、単位分散に正規化されている。
• t → ∞ のとき、η(t) の確率分布は、ランダムウォークの自己交差のリノーマライズド局所時間であるヴァラダハンの量の分布に収束する。
• この収束は、すべての ΔM(t) が S(t) のフラクチュエーション ΔS(t) に漸近的に比例することを意味する。
• フラクチュエーションの普遍的スケーリングは、サポートの位相とウォークの自己交差統計の間に深い関係を確立する。
• 結果は、適切な時間スケーリングを用いた有限格子および長時間極限における無限格子の両方で成立する。