[論文レビュー] The monodromy theorem for compact Kähler manifolds and smooth quasi-projective varieties

Nero Budur, Yongqiang Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、無限循環被覆のデック変換が複素係数ホモロジーに作用する様子を分析することにより、コンパクトKähler多様体および滑らかな準射影的多様体に対してモノドロミー型の定理を確立する。コンパクトKähler多様体の場合、ホモロジーの torsion 部分におけるモノドロミー作用のすべてのジョルダン細胞はサイズ1であると証明する。滑らかな準射影的多様体の場合、古典的な局所ミルナーのモノドロミー定理を一般化したジョルダン細胞サイズの上界を与える。

ABSTRACT

Given any connected topological space $X$, assume that there exists an epimorphism $ϕ: π_1(X) o \mathbb{Z}$. The deck transformation group $\mathbb{Z}$ acts on the associated infinite cyclic cover $X^ϕ$ of $X$, hence on the homology group $H_i(X^ϕ, \mathbb{C})$. This action induces a linear automorphism on the torsion part of the homology group as a module over the Laurent ring $\mathbb{C}[t,t^{-1}]$, which is a finite dimensional $\mathbb{C}$-vector space. We study the sizes of the Jordan blocks of this linear automorphism. When $X$ is a compact Kähler manifold, we show that all the Jordan blocks are of size one. When $X$ is a smooth complex quasi-projective variety, we give an upper bound on the sizes of the Jordan blocks, which is an analogue of the Monodromy Theorem for the local Milnor fibration.

研究の動機と目的

• コンパクトKähler多様体および滑らかな準射影的多様体のグローバルな設定において、局所ミルナーのファイブレーションから得られる古典的モノドロミー定理を拡張すること。
• ホモロジーの無限循環被覆における単位元の作用を分析すること。
• 複素係数ホモロジーの torsion 部分におけるモノドロミー作用のジョルダン細胞の最大サイズを特定すること。
• 滑らかな準射影的多様体に対して、局所ミルナーの場合と類似したジョルダン細胞サイズの上界を確立すること。
• ホッジ理論とスペクトル系列を用いて、無限循環被覆のコホモロジーが半単純なgraded商を持つフィルトレーションを備えることを証明すること。

提案手法

• epimorphism φ: π₁(X) → ℤ に対応する無限循環被覆 X^φ を定義し、H_i(X^φ, ℂ) 上でのデック変換作用を研究する。
• R = ℂ[t, t⁻¹] 上のラテン多項式環へのモジュールとしてホモロジーをモデル化し、T_i(X, φ) として torsion submodule を注目する。
• λ ∈ ℂ* に対応する一般固有空間 T_i^λ(X, φ) に分解し、S_λ を (t - λ)^m がモジュールを零にする最小の m としてジョルダン細胞サイズを定義する。
• ホッジ分解とホッジ *-作用素を用いてde Rham複体にヘルミート構造を定義し、無限循環被覆のコホモロジーに収束するスペクトル系列の構成を可能にする。
• 形式の次数によるフィルトレーションに関連するスペクトル系列 E^r_{p,q} を分析し、E^3 が R-モジュールとして半単純であることを示し、スペクトル系列が E^3 で退化することを導く。
• アレクサンドルモジュールの構造定理とジョルダン細胞サイズのガロア不変性を用いて、一般の場合を λ = 1 の場合に還元し、ホッジ理論的議論によりその場合の上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトKähler多様体の無限循環被覆のホモロジーの torsion 部分におけるモノドロミー作用の構造はいかなるものか？
• RQ2 古典的な局所ミルナーのモノドロミーにおけるジョルダン細胞サイズの上限を、グローバルな代数的および複素解析的設定に一般化できるか？
• RQ3 滑らかな準射影的多様体 X に対して、H_i(X^φ, ℂ) におけるモノドロミー作用のジョルダン細胞の最大サイズは何か？
• RQ4 無限循環被覆のホッジ的構造は、モノドロミー作用のジョルダン標準形にどのように制限を加えるか？
• RQ5 固有値上のガロア作用は、モノドロミー表現におけるジョルダン細胞構造をどの程度保つのか？

主な発見

• コンパクトKähler多様体の場合、H_i(X^φ, ℂ) の torsion 部分におけるモノドロミー作用のすべてのジョルダン細胞はサイズ1である。
• 滑らかな準射影的多様体の場合、固有値 λ に対するジョルダン細胞サイズの最大値は min{i+1, 2n−i} で抑えられる。ここで n は多様体の複素次元である。
• モノドロミーが重み 2 の純ホッジ型であるとき、上限は min{i+1, 2n−i−1} に改善される。
• ホッジフィルトレーションに関連するスペクトル系列は E^3 で退化し、すべての E^3 ページは半単純な R-モジュールである。
• ジョルダン細胞構造はガロア共役によって保たれ、超越的固有値は自明な一般固有空間を与える。
• 無限循環被覆のコホモロジーは、半単純なgraded商を持つフィルトレーションを備え、したがってモノドロミー作用はフィルターの意味で準半単純である。