[論文レビュー] Toric Degenerations and the Laurent polynomials related to Givental's Landau-Ginzburg models

Andrew Harder, Charles F. Doran|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、トーリック多様体内のファノ完交差の可解なトーリック退化とギヴェンタルのランダウ＝ジンブルグ（LG）鏡像のローレンツ多項式モデルとの間の直接的な対応を確立する。Gorenstein トーリック弱ファノ多様体への明示的退化を構成することで、著者らは LG サーパテンシャルが退化のファノに一致するニュートン多面体を持つローレンツ多項式として表現可能であることを証明する。これは、プレジャルコフスキーおよびコーエーツ＝カスピツィク＝プリンスの手法を統合・一般化し、ミラー対称性を介したカバチ・ヤウ多様体の幾何的遷移を可能にする。

ABSTRACT

For an appropriate class of Fano complete intersections in toric varieties, we prove that there is a concrete relationship between degenerations to specific toric subvarieties and expressions for Givental's Landau-Ginzburg models as Laurent polynomials. As a result, we show that Fano varieties presented as complete intersections in partial flag manifolds admit degenerations to Gorenstein toric weak Fano varieties, and their Givental Landau-Ginzburg models can be expressed as corresponding Laurent polynomials. We also use this to show that all of the Laurent polynomials obtained by Coates, Kasprzyk and Prince by the so called Przyjalkowski method correspond to toric degenerations of the corresponding Fano variety. We discuss applications to geometric transitions of Calabi-Yau varieties.

研究の動機と目的

• トーリック多様体内のファノ完交差のトーリック退化とギヴェンタルのランダウ＝ジンブルグ（LG）鏡像のローレンツ多項式モデルとの間の明確な対応を確立すること。
• ファノ多様体の部分フラッグ多様体におけるファノ多様体へのプレジャルコフスキーの手法およびコーエーツ＝カスピツィク＝プリンスのローレンツ多項式構成を一般化すること。
• トーリック多様体内のファノ完交差のギヴェンタル LG モデルが、可解なトーリック退化を介してローレンツ多項式として実現可能であることを示すこと。
• この対応関係を、ミラー対称性を介したカバチ・ヤウ超曲面の幾何的遷移に応用すること。
• 得られるローレンツ多項式のニュートン多面体が、退化したトーリック多様体の射線生成元の凸包に一致することを示すこと。

提案手法

• 『可解なトーリック退化』を、トーリック多様体内のファノ完交差の埋め込まれたトーリック退化のクラスとして定義し、主要な組合せ的構造を保つようにする。
• ギヴェンタルの手法を用いて、(C*)^n 内の完交差としての Landau-Ginzburg モデルとそのサーパテンシャル w を構成する。
• ファノ完交差 X がトーリック多様体 X_Σ に可解に退化するならば、ギヴェンタル LG モデルが、Σ の1次元射線の凸包に等しいニュートン多面体を持つローレンツ多項式であることを証明する。
• 部分フラッグ多様体内のファノ完交差にこの手法を適用し、それらが Gorenstein トーリック弱ファノ多様体への退化を許容することを示す。
• [14] および [5] のトーリック退化技術を用いて明示的退化を構築し、LG サーパテンシャルのローレンツ多項式形式を検証する。
• LG モデルのファイバーと双対トーリック多様体の反カノニカル超曲面との関係を用いて、退化プロセスをカバチ・ヤウ多様体における幾何的遷移として再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体内のファノ完交差の可解なトーリック退化は、ギヴェンタルのランダウ＝ジンブルグ鏡像のローレンツ多項式モデルを構成するために用いることができるか？
• RQ2 ファノ4次元多様体に対してプレジャルコフスキーの手法により得られたすべてのローレンツ多項式は、実際のファノ多様体のトーリック退化に対応するか？
• RQ3 部分フラッグ多様体内のファノ完交差のギヴェンタル LG モデルは、トーリック退化を介してローレンツ多項式として表現可能か？
• RQ4 カバチ・ヤウ超曲面のバティレブ＝ボリスョフ鏡像双対と、退化したファノ多様体の双対トーリック多様体内の超曲面との間に、鏡像双対の有理写像が存在するか？
• RQ5 ファノ完交差の退化が、対応するカバチ・ヤウ幾何的遷移において鏡像収縮を誘発する条件は何か？

主な発見

• トーリック多様体内のファノ完交差のギヴェンタル LG モデルは、可解なトーリック退化の射線生成元の凸包に等しいニュートン多面体を持つローレンツ多項式として表現可能である。
• コーエーツ、カスピツィク、プリンスがプレジャルコフスキーの手法を用いて得たすべてのローレンツ多項式は、関連するファノ多様体の実際のトーリック退化に対応する。
• グラスマンニアンを含む多くの部分フラッグ多様体内のファノ完交差は、Gorenstein トーリック弱ファノ多様体への退化を許容し、それに対応する LG モデルはローレンツ多項式として表現可能である。
• ローレンツ多項式のニュートン多面体は、退化したトーリック多様体のファノの1次元射線の凸包に一致する。
• カバチ・ヤウ超曲面の幾何的遷移は、ファノ完交差の退化から生じ、鏡像双対は双対トーリック多様体内の反カノニカル超曲面への有理写像として実現される。
• 本構成は、ミンコフスキー分解による幾何的遷移に関するマブリュトフおよびフレッドリクソンの結果を一般化する、トーリック退化とミラー対称性遷移を結びつける体系的な方法を提供する。