[論文レビュー] Toric Geometry and the Semple-Nash modification

Pedro D. González Pérez, Bernard Teissier|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2009

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正規性を仮定せずに、ファンと接着条件を満たす半群の組み合わせ的理論を用いて、特徴のないトーリック多様体の理論を構築する。Semple-Nash 変形（または特徴のない類似物である対数ヤコビアンイデアルの爆破）を繰り返し適用することで、トーリック多様体上の最大ランクの単項式付値に対して局所均質化が得られ、Hironaka の解消を特徴のない、一意的なプロセスに一般化する。

ABSTRACT

This paper proposes some material towards a theory of general toric varieties without the assumption of normality. Their combinatorial description involves a fan to which is attached a set of semigroups subjected to gluing-up conditions. In particular it contains a combinatorial construction of the blowing up of a sheaf of monomial ideals on a toric variety. In the second part it is shown that over an algebraically closed base field of zero characteristic the Semple-Nash modification of a general toric variety is isomorphic to the blowing up of the sheaf of logarithmic jacobian ideals and that in any characteristic this blowing-up is an isomorphism if and only if the toric variety is non singular. In the second part we prove that orders on the lattice of monomials (toric valuations) of maximal rank are uniformized by iterated Sempla-Nash modifications.

研究の動機と目的

• ファンと双対錐内の接着可能半群の組み合わせ的データを用いて、非正規多様体へのトーリック幾何の拡張を図ること。
• トーリック多様体上の単項式イデアルの層の爆破を、組み合わせ的記述すること。
• 対数ヤコビアンイデアルの爆破を繰り返すことで、トーリック多様体上の最大ランクの単項式付値が解消されることを示すこと。
• Semple-Nash 変形の特徴のないバージョンを、一意的な特異点解消プロセスとして確立すること。
• Semple-Nash プロセスを古典的特異点解消およびZariski-Riemann 空間と関連付けること。

提案手法

• 双対錐内の接着条件を満たす半群の集合とファンを用いて、抽象的トーリック多様体を定義すること。
• 半群とファン構造を変更することで、単項式イデアルの層の爆破をトーリック多様体として構成すること。
• 非正規設定におけるトーリス不変なカルティエ除集合およびその正則性・非常に正則性の基準を特徴づけること。
• 対数ヤコビアンイデアルを用いて、特徴のない Semple-Nash 変形の類似物を定義する。
• この爆破プロセスを繰り返すことで、最大ランクの単項式付値が局所均質化されることを証明すること。
• 半群上の前順序の空間と、すべてのトーリック爆破の逆極限との間にホメオモーティズムを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファンと半群を用いて、正規性を仮定せずにトーリック多様体を組み合わせ的に記述できるか？
• RQ2 非正規トーリック設定における単項式イデアルの層の爆破を、どのように組み合わせ的に記述できるか？
• RQ3 対数ヤコビアンイデアルの爆破を繰り返すことで、任意のトーリック多様体上の最大ランクの単項式付値が解消されるか？
• RQ4 特徴が0のとき、Semple-Nash 変形はこの爆破プロセスと同型か？
• RQ5 この枠組みにおいて、半群上の前順序のZariski-Riemann 空間は、すべてのトーリック爆破の逆極限として実現可能か？

主な発見

• 論文は、双対錐内の接着可能半群とファンを用いて、非正規トーリック多様体の組み合わせ的理論を構築した。
• 非正規の場合におけるトーリス不変カルティエ除集合の完全な組み合わせ的記述および正則性・非常に正則性の基準を提供した。
• 対数ヤコビアンイデアルの爆破を繰り返すことで、任意のトーリック多様体上の最大ランクの単項式付値に対して局所均質化が得られた。
• 特徴が0のとき、この爆破プロセスは Semple-Nash 変形と同型である。
• トーリック多様体の半群上の前順序の空間は、すべてのトーリック爆破の逆極限とホメオモーティックである。これはZariski-Riemann 空間の構成を一般化する。
• この構成により、最大ランクの単項式付値に対する一意的で特徴のない解消プロセスが確立された。