[論文レビュー] Toric Geometry, Enhanced non Simply laced Gauge Symmetries in Superstrings and F-theory Compactifications

A. Belhaj, El Hassan Saidi|ArXiv.org|Dec 15, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 27被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、トーリック幾何を用いて、F理論およびタイプII弦理論の compactification における幾何的エンジニアリングを、非単純ラッセ（non-simply laced）ゲージ群へと拡張する。ADE トーリック図における外的自己同型作用の2つのクラスの解を導入し、明示的なアフィン BCFG トーリックデータとミラー幾何を提示する。さらに、多価（polyvalent）トーリック幾何を発展させ、$\check{D}_4$特異点に対する新しい標準的四価解を導出。$c_1 = 0$ を満たす $\mathbb{WP}^4(1,1,1,1,2)$ カラビ＝ヤウ超曲面における $\check{D}_4$ 特異点を対象とする。

ABSTRACT

We study the geometric engineering of supersymmetric quantum field theories (QFT), with non simply laced gauge groups, obtained from superstring and F-theory compactifications on local Calabi-Yau manifolds. First we review the main lines of the toric method for ALE spaces with ADE singularities which we extend to non simply laced ordinary and affine singularities. Then, we develop two classes of solutions depending on the two possible realisations of the outer-automorphism group of the toric graph $Δ$(ADE). In F-theory on elliptic Calabi-Yau manifolds, we give explicit results for the affine non simply laced toric data and the corresponding BCFG mirror geometries. The latters extend known results obtained in litterature for the affine ADE cases. We also study the geometric engineering of $ N=1$ supersymmetric gauge theory in eight dimensions. In type II superstring compactifications on local Calabi-Yau threefolds, we complete the analysis for ordinary ADE singularities by giving the explict derivation of the lacking non simply ones. Finally we develop the basis of polyvalent toric geometry. The latter extends bivalent and trivalent geometries, considered in the geometric engineering method, and use it to derive a new solution for the affine $\hat D_4$ singularity. Other features are also discussed.

研究の動機と目的

• F理論およびタイプII弦理論の compactification において、非単純ラッセゲージ群（例：$B_n$, $C_n$, $F_4$, $G_2$）を有する $N=2$ および $N=1$ 超対称QFTの幾何的エンジニアリングを完成させること。
• タイプII超弦理論の compactification における局所的カラビ＝ヤウ3次元多様体内での、非単純ラッセ通常およびアフィン ADE 特異点の明示的構成の欠如に対処すること。
• 二価および三価のケースを超えて、特に四価特異点（例：四価の $\check{D}_4$）に対応する、より高次の頂点を持つ特異点を記述可能な一般化された多価トーリック幾何のフレームワークを構築すること。
• F理論の compactification における、楕円曲線ファイバー付きカラビ＝ヤウ多様体上での、アフィン非単純ラッセ BCFG 特異点の明示的ミラー幾何を提供すること。
• 以前の有理格子構成（$\mathbb{Z} \times \frac{1}{2}\mathbb{Z}^2$ を用いたもの）における $\check{D}_4$ ミラーの曖昧さを解消し、整数格子 $\mathbb{Z}^4$ を用いた新しい標準的四価解を導入すること。

提案手法

• ADE 分類を拡張し、トーリック図 $\Delta$(ADE) における外的自己同型作用を含めた、非単純ラッセゲージ群を有する ALE 特異点の解消にトーリック幾何を適用する。
• トーリックグラフの外的自己同型群の異なる実現に基づき、異なるミラー潜在エネルギー制約に対応する2つの異なる解のクラスを構築する。
• $\mathbb{Z}_2$ 外的自己同型を用いたドリンキン図の折りたたみ法（例：$D_n$, $A_n$）を用い、単純ラッセのものから $B_n$, $C_n$, $F_4$, $G_2$ のような非単純ラッセゲージ代数を導出する。
• 楕円曲線ファイバー付きカラビ＝ヤウ3次元多様体上の F理論 compactification における、アフィン BCFG 型の明示的トーリックデータを導出。重み付き射影空間内のミラー超曲面も含む。
• 二価および三価幾何の拡張として、多価トーリック幾何を導入。これにより、四価 $\check{D}_4$ ケースのような高次元頂点を持つ特異点の記述が可能になる。
• 整数格子 $\mathbb{Z}^4$ の頂点を用いた新しい標準的四価幾何を構築。これにより、$c_1 = 0$ を満たす $\mathbb{WP}^4(1,1,1,1,2)$ 内のカラビ＝ヤウ超曲面が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ADE トーリック図 $\Delta$(ADE) の外的自己同型群の異なる実現は、非単純ラッセゲージ群の幾何的エンジニアリングにおいて、どのように異なる解のクラスを生じさせるか？
• RQ2 F理論の compactification における楕円曲線ファイバー付きカラビ＝ヤウ多様体上での、アフィン非単純ラッセ BCFG 特異点の明示的トーリックデータおよびミラー幾何は何か？
• RQ3 多価トーリック幾何は、二価および三価のケースを超えて、特に四価 $\check{D}_4$ 特異点のような高次元頂点を持つ特異点を記述するために、どのように体系的に発展させられるか？
• RQ4 アフィン $\check{D}_4$ 特異点のミラー幾何の正しいトーリック実現は何か？ これは、一貫性のある格子枠組みの中で $c_1 = 0$ を回復させる。
• RQ5 有理格子 $\mathbb{Z} \times \frac{1}{2}\mathbb{Z}^2$ を用いた以前の構成の制限を克服するため、整数格子 $\mathbb{Z}^4$ 上に新しい標準的四価解を構築できるか？

主な発見

• 本論文は、トーリック図 $\Delta$(ADE) における外的自己同型群の実現に応じて、非単純ラッセゲージ群の幾何的エンジニアリングにおいて2つの異なる解のクラスを同定する。2番目のクラスは、以前に報告されていなかった新規解である。
• F理論の compactification におけるアフィン非単純ラッセ BCFG 特異点の明示的トーリックデータおよびミラー幾何が導出され、ADE の既知の結果が $B_n$, $C_n$, $F_4$, $G_2$ ゲージ代数を含むように拡張される。
• 整数格子 $\mathbb{Z}^4$ の頂点を用いた新しい標準的四価幾何が構築され、$c_1 = 0$ を満たす $\mathbb{WP}^4(1,1,1,1,2)$ 内のカラビ＝ヤウ超曲面が得られる。これにより、以前の有理格子構成における不整合が解消される。
• 新しい標準的四価解のミラー潜在エネルギーは、$W_3(x_1,x_2,x_3,x_4,w) = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 + x_1x_2x_3x_4 + w^2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) + w^2$ で与えられ、準同次カラビ＝ヤウ3次元多様体を定義する。
• 新しい $\check{D}_4$ 特異点の解は、$W_3$ を用いるとき特異的カラビ＝ヤウ超曲面となるが、$wP(W_3)$ に置き換えることで $c_1 = 0$ が回復され、カラビ＝ヤウ性が回復される。
• 多価トーリック幾何が四価ケースに成功裏に適用され、$\mathbb{Z}^4$ に基づく標準的四価解が、以前の有理格子アプローチよりも自然かつ一貫性のある枠組みを提供することが示された。