[論文レビュー] Torsion in the Coherent Cohomology of Shimura Varieties and Galois Representations

George Boxer|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、ペル型シムーラ多様体の特別ファイバーにおけるエーケルダル＝オールズト分離に適合した一般化されたハッセ不変量を用いて、シムーラ多様体の整合的コホモロジーにおけるヘッケ固有クラスの合同関係を構成する手法を開発する。主な結果として、ある種の整合的コホモロジー群が高重量コホモロジーからヘッケ不変な全射をもつことを確立し、これによりモジュラー形式 mod p から torsion ガロア表現を構成可能となる。

ABSTRACT

We introduce a method for producing congruences between Hecke eigenclasses, possibly torsion, in the coherent cohomology of automorphic vector bundles on certain good reduction Shimura varieties. The congruences are produced using some "generalized Hasse invariants" adapted to the Ekedahl-Oort stratification of the special fiber.

研究の動機と目的

• 特徴的ゼロに上昇しない（mod p での）エーテルナルモジュラー形式—という現象に対処するため、シムーラ多様体の整合的コホモロジーにおける torsion を研究すること。
• 自動形式ベクトル bundle の整合的コホモロジーにおけるヘッケ固有クラス（特に torsion クラスを含む）の間の合同関係を生成する幾何的技法を開発すること。
• エーケルダル＝オールズト分離を用いて、算術的コンパクト化の境界における古典的ハッセ不変量の拡張を実現すること。
• 高重量の整合的コホモロジーから低重量のコホモロジーへのヘッケ不変な全射を確立し、ガロア表現の転送を可能とすること。
• 特に重み1の形式と torsion 現象の文脈において、整合的コホモロジー内の torsion クラスから mod p ガロア表現を構成するフレームワークを提供すること。

提案手法

• PEL型シムーラ多様体の特別ファイバーにおけるエーケルダル＝オールズト分離に適合した一般化されたハッセ不変量を導入し、特異的でない領域へ古典的ハッセ不変量を拡張すること。
• 切断されたバーラスキー＝タウ・グループ上の標準的フィルトレーションを用いて、特にパラホリックレベル構造の文脈において、開エーケルダル＝オールズト層上に一般化されたハッセ不変量を定義すること。
• コットヴィッツ＝ラポポート分離と局所モデルを用いて、トロイダルおよび最小コンパクト化における境界の構造を分析すること。
• 高次直接像の消滅定理を活用し、自動形式ベクトル bundle のコホモロジーに同型な逐次商を介して整合的コホモロジーへのフィルトレーションを構成すること。
• ハッセ不変量を境界へ拡張するためのリフト補題と帰納的議論を用い、ヘッケ作用と整合性を保つこと。
• 制限写像、コホモロジーの消滅、およびヘッケ安定なセクションの作用を組み合わせることで、高重量コホモロジーから低重量コホモロジーへのヘッケ不変な全射を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的コンパクト化の境界へ一般化されたハッセ不変量をどのように構成・拡張できるか。
• RQ2 エーケルダル＝オールズト分離が特別ファイバーの構造を整理し、整合的コホモロジーにおける合同関係の構成を可能にする役割は何か。
• RQ3 整合的コホモロジー内の torsion ヘッケ固有クラスは、特に重み1のモジュラー形式の場合に、mod p ガロア表現を構成するために使用可能か。
• RQ4 特に torsion を含む状況において、自動形式ベクトル bundle のコホモロジー群はヘッケ作用に対してどのように振る舞うか。
• RQ5 最小コンパクト化とトロイダルコンパクト化の整合的コホモロジーの関係は何か。この関係は合同関係の構成にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 本論文は、高重量自動形式ベクトル bundle の整合的コホモロジーから低重量バンドルのコホモロジーへのヘッケ不変な全射を構成し、ヘッケ固有クラス間の合同関係を確立する。
• 整合的コホモロジー群 $ H^n( ilde{X}_n, (V_{ ho,K}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) $ が $ H^0( ilde{X}_n, (V_{ ho,K}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) $ のヘッケ不変な部分商であることを証明し、合同関係の存在を確認する。
• 一般化されたハッセ不変量は最小コンパクト化の境界へ拡張可能であり、境界部成分に対しても合同関係の構成が可能となる。
• コホモロジー群 $ H^1( ilde{X}_n, V_{ ho',K}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}} imes ilde{ ho}^{ ext{sub}}) $ は $ ilde{ ho}^{ ext{sub}} $ を法として消える。これは還元写像の全射性にとって不可欠である。
• ヘッケ安定なセクション $ ilde{A}_n $ を $ ilde{ ho}^{ ext{sub}} $ 上に構成し、これを乗算によりヘッケ不変な単射を誘導することで、固有系の転送が可能となる。
• 本手法により、整合的コホモロジー内の torsion クラスがガロア表現を生じることを確認し、特に重み1のモジュラー形式 mod p の文脈において、エーテルナル形式の問題が解決される。