[論文レビュー] Torsion in the crystalline cohomology of singular varieties

Bhargav Bhatt|arXiv (Cornell University)|May 8, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、特異な特異的射影的多様体—特に通常の二重点や孤立したトーリック特異点をもつもの—の結晶コホモロジーが、lci かつ還元的であっても、Witt 環上の無限生成であることがしばしばであることを示している。イルスィエの導来 de Rham コホモロジーとその結晶コホモロジーとの比較を用いて、同型スペクトル系列と Frobenius ツイスト上の連続コホモロジーが、複数の次数で無限生成を示す。これは、特異多様体に対しても結晶コホモロジーが良好に保たれるという期待に反するものである。

ABSTRACT

This note discusses some examples showing that the crystalline cohomology of even very mildly singular projective varieties tends to be quite large. In particular, any singular projective variety with at worst ordinary double points has infinitely generated crystalline cohomology in at least two cohomological degrees. These calculations rely critically on comparisons between crystalline and derived de Rham cohomology.

研究の動機と目的

• 特異な特異的射影的多様体、特に軽微な特異点をもつものの結晶コホモロジーの構造を調査すること。
• 特異点が存在する場合でさえ、lci の場合に結晶コホモロジーが扱いにくく無限生成となる理由を理解すること。
• このような無限生成性が病理的であるのか、それともより深い幾何的・コホモロジー的構造の兆候であるのかを探索すること。
• 導来 de Rham コホモロジーを用いた方法的枠組みを提供し、特異な状況における結晶コホモロジーを分析すること。
• 正標数の体上での有限次元結晶コホモロジーをもつ特異多様体が存在するかどうかを特定すること。

提案手法

• 特異多様体に対して古典的 de Rham コホモロジーの改良版として、イルスィエの導来 de Rham コホモロジーを活用すること。
• lci 多様体に対して導来 de Rham コホモロジーと結晶コホモロジーを等しくする比較定理を適用すること。
• 導来 de Rham コホモロジーの共役スペクトル系列を用い、その E2 項が Frobenius ツイスト上の連続コホモロジーから生じることを活用すること。
• 余接複体の楔積を用いて、共役フィルトレーションの各次元の成分数を分析すること。
• ヘンゼル化と余接複体のエタール不変性を用いて、特異点における局所的計算に問題を還元すること。
• 有限次元の成分数を持つフィルトレーションの議論を用いて、結晶コホモロジーにおける無限生成性を検出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-代数としての特異的かつ完全なk-多様体で、k 上の結晶コホモロジーが有限次元となるもの是否存在するか？
• RQ2 特異的かつ有限型k-代数が、A^(1) 上で有限生成の結晶コホモロジーをもつことができるか？
• RQ3 特異な場合における結晶コホモロジーの無限生成性は病理的であるのか、それともより深いコホモロジー的構造の兆候であるのか？
• RQ4 導来 de Rham コホモロジーの枠組みは、特異な状況における結晶コホモロジーの計算に信頼できる方法を提供するか？
• RQ5 導来 de Rham コホモロジーの共役スペクトル系列が、いつ結晶コホモロジーにおける無限生成性を検出するのか？

主な発見

• 任意の完全な lci k-多様体が孤立したトーリック特異点（例えば曲線のノード）をもつ場合、結晶コホモロジーは少なくとも2つのコホモロジー次数で無限生成である。
• 任意の完全な lci k-多様体が埋め込み次元Nの通常の二重点をもつ場合、定義方程式の次数dがpで割り切れない限り、結晶コホモロジー群 H^N_crys(X/k) および H^{N-1}_crys(X/k) は無限次元k-ベクトル空間である。
• 局所的完備交差特異点の導来 de Rham コホモロジーは、有限次元の成分数を持つ共役フィルトレーションをもち、このフィルトレーションは余接複体の楔積のシフトされた直和と同型を与える。
• 無限生成性は、高次元における導来 de Rham 複体の無限直和分解に起因し、比較同型を介して結晶コホモロジーに翻訳される。
• 非可昇圧可能な特異点、例えば高次元の通常の二重点に対しても、W_2 への局所的昇圧と Frobenius の整合性を用いることで、この手法は適用可能である。
• 結果は、有理的でも非ログ・キャンディナルでもよい特異点に適用可能であり、p ≥ 7 のとき、次数 ≤5 の滑らかな曲線の錐に対しても成り立つ。