[論文レビュー] Torsion points on the cohomology jump loci of compact Kähler manifolds

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コンパクト・カーラー多様体のコhomologyジャンプ・ローカスの各既約成分が、少なくとも1つのねじれ点を含むことを証明し、滑らかな複素射影多様体に対するSimpsonの結果を一般化する。主な貢献は、これらのローカスが、ねじれ点による平行移動を施した代数的部分群の有限個の和集合であることを示したことである—これによりBeauvilleとCataneseの予想が裏付けられ、滑らかな複素射影多様体として実現できないコンパクト・カーラー多様体の構成がなされた。

ABSTRACT

We prove that each irreducible component of the cohomology jump loci of rank one local systems over a compact Kähler manifold contains at least one torsion point. This generalizes a theorem of Simpson for smooth complex projective varieties. An immediate consequence is the conjecture of Beauville and Catanese for compact Kähler manifolds. We also provide an example of a compact Kähler manifold, whose cohomology jump loci can not be realized by any smooth complex projective variety.

研究の動機と目的

• 滑らかな複素射影多様体に対するSimpsonの定理を、コンパクト・カーラー多様体へと一般化すること。
• BeauvilleとCataneseによるDolbeaultコホモロジー・ジャンプ・ローカスが部分トーラスのねじれ平行移動であるという予想を解明すること。
• そのコホモロジー・ジャンプ・ローカスが任意の滑らかな複素射影多様体のそれとして実現できない、コンパクト・カーラー多様体を構成すること。
• アーベル多様体の技術を、コホモロジー・ジャンプ・ローカスの文脈において、複素トーラスへと拡張すること。

提案手法

• アーベル多様体に関するSchnellの結果を、複素トーラスへと拡張するため、アロバネーゼ写像を分析し、複素トーラスの積の適切なブローアップモデルを構成することで証明を展開する。
• アロバネーゼ多様体の構造と、文字群への誘導写像を用いて、コホモロジー・ジャンプ・ローカスを複素トーラスからの引き戻し写像の像の有限和集合として記述する。
• ユニタリ局所系におけるホッジ分解と、Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理を用いた、ねじれピックャール群とユニタリ特徴の同定に依存する。
• $\bar{\nabla}$-補題と曲率変形を用いて、第一チエーン類が自明なラインバンドルに平坦ユニタリ計量を構成する。
• 四つの互いに交わらない中心に沿った$T \times T \times \mathbb{P}^1$のブローアップを含む構成により、明示的なコホモロジー・ジャンプ・ローカスを持つ複素多様体が得られる。
• 鍵となる技術的ステップは、コホモロジー・ジャンプ・ローカス$Σ^2_1(X)$が、各々がねじれ平行移動に対応する商トーラス$B_i = (T \times T)/Z_i$からの引き戻しの和集合に分解されることの証明である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カーラー多様体のコホモロジー・ジャンプ・ローカスの各既約成分は、常に文字群$Σ(X)$におけるねじれ点を含むか？
• RQ2 コンパクト・カーラー多様体上のDolbeaultコホモロジー・ジャンプ・ローカスは、BeauvilleとCataneseが予想したように、常に部分トーラスのねじれ平行移動の有限和集合か？
• RQ3 コンパクト・カーラー多様体のコホモロジー・ジャンプ・ローカスは、任意の滑らかな複素射影多様体のそれとして実現できない場合があるか？
• RQ4 コホモロジー・ジャンプ・ローカスは、コンパクト・カーラー多様体の射影性をどの程度まで特定できるか？

主な発見

• コンパクト・カーラー多様体$X$について、コホモロジー・ジャンプ・ローカス$Σ^i_k(X)$の各既約成分は、文字群$Σ(X)$内に少なくとも1つのねじれ点を含む。
• $Σ^i_k(X)$は、ねじれ点による平行移動を施した代数的部分群の有限和集合として表され、これにより定理1.3が証明された。
• BeauvilleとCataneseの予想が確認された：任意のコンパクト・カーラー多様体について、Dolbeaultジャンプ・ローカス$Σ^{pq}_k(X)$は、常に部分トーラスのねじれ平行移動の有限和集合である。
• そのコホモロジー・ジャンプ・ローカスが任意の滑らかな複素射影多様体のそれとして実現できない、コンパクト・カーラー多様体$X$が構成された。これは、そのPic^0群の非射影性に起因する。
• この多様体のコホモロジー・ジャンプ・ローカス$Σ^2_1(X)$は、四つの商トーラス$B_i$からの引き戻しの和集合として示された。各々はねじれ平行移動に対応する。
• $X$の実2次ホモトピー型は、原点における$Σ^2_1(X)$の芽を決定し、この芽は、$Σ^2_1(X)$が射影多様体から生じえないことを示唆する。