[論文レビュー] Torsion type invariants of singularities

Huijun Fan, Hao Fang|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$mathbb{C}^n$ 上の非退化な準同次特異点に関連するシュレーディンガー作用素に対するヒートカーネル展開の存在を確立し、ミルナー数をガウス型積分として表す局所インデックス公式を証明する。ヒートトレースから導かれる新たな torsion 型スペクトル不変量を導入し、LG/CY 対応の文脈における特異点不変量に対する新規な解析的アプローチを提供する。

ABSTRACT

Inspired by the LG/CY correspondence, we study the local index theory of the Schrödinger operator associated to a singularity defined on ${\mathbb C}^n$ by a quasi-homogeneous polynomial $f$. Under some mild assumption on $f$, we show that the small time heat kernel expansion of the corresponding Schrödinger operator exists and is a series of fractional powers of time $t$. Then we prove a local index formula which expresses the Milnor number of $f$ by a Gaussian type integral. Furthermore, the heat kernel expansion provides spectral invariants of $f$. Especially, we define torsion type invariants associated to a singularity. These spectral invariants provide a new direction to study the singularity.

研究の動機と目的

• 準同次多項式によって定義される特異点における $\bar{\partial}_f$-ラプラシアンの局所インデックス理論を構築すること。
• 非コンパクトで有界でないポテンシャルをもつ行列型シュレーディンガー作用素に対して、時間の分数乗の小時間ヒートカーネル展開の存在を確立すること。
• BCOV torsion にインspiredされた、特異点の torsion 型スペクトル不変量を定義し、それらを研究すること。
• ヒートカーネルトレースの漸近挙動を用いて、ミルナー数をガウス積分として表す局所インデックス公式を証明すること。
• 特に $A_r$ 型の場合に、特異点の直和におけるこれらの不変量の振る舞いを調査すること。

提案手法

• 準同次多項式 $f$ に対して、弱い tame および重み条件が満たされれば、ヒートカーネル $e^{-t\Delta_f}$ がトレースクラスであることを証明する。
• 反復誤差項 $R_k$ を用いて、作用素 $L = \partial_t + \Delta_f$ のためのパラメトリックス $P_k$ を構成し、系列 $P = \sum_{i=0}^\infty (-1)^i P^i_k$ の収束を保証する。
• 小時間 $t \to 0^+$ におけるヒートカーネル展開 $\operatorname{tr}(e^{-t\Delta_f}) \sim \sum_{j=0}^\infty a_j t^{j/2}$ を確立し、係数が局所幾何学およびポテンシャルの成長に依存することを示す。
• $L^2$ $\bar{\partial}_f$-コホロロジーのオイラー特性をヒートカーネルトレースのガウス積分と関連付けることで、局所インデックス公式を導出する。
• ヒートカーネルのゼータ正則化トレースを用いて、スペクトル torsion $T^2(f)$ を定義する。$\Delta_f^0$ の固有値 $\lambda_i$ を用いて $\Theta^2_f(s) = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i^{-s}$ とする。
• 特異点の直和における $T^2(f)$ の振る舞いを解析し、ミルナー数と符号の交互性を含む乗法的異常公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $mathbb{C}^n$ 上の $\bar{\partial}_f$-ラプラシアンのヒートカーネルは、$f$ に対してややいなごろしの条件下で時間の分数乗の展開をもつのか？
• RQ2 非退化な準同次特異点のミルナー数は、スペクトルデータを用いてガウス型積分として表現可能か？
• RQ3 シュレーディンガー作用素 $\bar{\partial}_f$-ラプラシアンのスペクトルから導かれる torsion 型不変量の性質は何か？また、特異点の直和においてそれらはどのように振る舞うか？
• RQ4 $A_r$ 型特異点におけるスペクトルゼータ関数 $\Theta^2_f(s)$ の振る舞いは何か？その結果得られる解析的 torsion は？
• RQ5 特異点の直和 $f_1 \oplus f_2$ の torsion 不変量 $T^2(f_1 \oplus f_2)$ に対して、ミルナー数および $T^2(f_1), T^2(f_2)$ を用いた乗法的異常公式が存在するか？

主な発見

• 条件 $q_M - q_m < \frac{1}{3}$ の下で、作用素 $\partial_t + \Delta_f$ のヒートカーネル $P(\mathbf{z}, \mathbf{w}, t)$ は時間の分数乗の級数として存在し、収束する。
• ミルナー数 $\mu(f)$ は、$t \to 0^+$ のときのガウス積分 $\int_{\mathbb{C}^n} \operatorname{tr}(P(\mathbf{z}, \mathbf{z}, t)) \, d\mathbf{z}$ として与えられ、局所インデックス公式を提供する。
• スペクトル torsion $T^2(f)$ はヒートカーネルのゼータ正則化トレースを用いて定義され、$A_r$ 特異点 $f = \frac{\tau z^2}{2}$ に対して $T^2(f) = (2|\tau|)^{-1/12} e^{-\zeta'(-1)}$ に評価される。
• torsion 不変量は乗法的異常公式 $\log T^2(f_1 \oplus f_2) = (-1)^{n_1}\mu(f_1)\log T^2(f_2) + (-1)^{n_2}\mu(f_2)\log T^2(f_1)$ を満たす。
• ヒートカーネル展開は、$k > \frac{3l_0 + n + 1 + 2\sum q_i}{\delta}$ かつ $\delta = \frac{1 - 3(q_M - q_m)}{3(1 - q_M)}$ の下で有効であり、指定された微分まで滑らかで収束することが保証される。
• 1次元調和振動子の場合（$f = \frac{\tau z^2}{2}$）、スペクトルゼータ関数は $\Theta^2_f(s) = (2|\tau|)^{-s} \zeta(s-1)$ であり、$\zeta(s)$ はリーマンゼータ関数である。