[論文レビュー] Torus actions of complexity one in non-general position

Anton Ayzenberg, Vladislav Cherepanov|Osaka City University (Osaka City University)|May 12, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定点が孤立しており、奇数次元の有理ホモロジーが自明な滑らかでコンpakな多様体上に、複雑度1のハミルトニアントーラス作用を構成し、その軌道空間が任意の有限単体複体の三重サスペンションとホモトピー同値であることを示している。プロジェクト型ラインバンドルと反復的なアレクサンダー双対性の応用により、同相的等置性の仮定がなくても、3次元以上の任意のホモロジーを実現できることを証明している。

ABSTRACT

Let the compact torus $T^{n-1}$ act on a smooth compact manifold $X^{2n}$ effectively with nonempty finite set of fixed points. We pose the question: what can be said about the orbit space $X^{2n}/T^{n-1}$ if the action is cohomologically equivariantly formal (which essentially means that $H^{odd}(X^{2n};\mathbb{Z})=0$). It happens that homology of the orbit space can be arbitrary in degrees $3$ and higher. For any finite simplicial complex $L$ we construct an equivariantly formal manifold $X^{2n}$ such that $X^{2n}/T^{n-1}$ is homotopy equivalent to $Σ^3L$. The constructed manifold $X^{2n}$ is the total space of the projective line bundle over the permutohedral variety hence the action on $X^{2n}$ is Hamiltonian and cohomologically equivariantly formal. We introduce the notion of the action in $j$-general position and prove that, for any simplicial complex $M$, there exists an equivariantly formal action of complexity one in $j$-general position such that its orbit space is homotopy equivalent to $Σ^{j+2}M$.

研究の動機と目的

• 接ベクトルの重みが一般位置にない場合の複雑度1トーラス作用の軌道空間の位相を調査すること。
• 固定点が孤立しており、コホモロジカルに等置性である作用が、高次元で任意のホモロジーを持つ軌道空間をもたらすかどうかを特定すること。
• 固定点における接ベクトルの重みのための $j$-一般位置の概念を導入し、その性質を研究すること。
• サスペンションを用いて、与えられた有限単体複体を軌道空間のホモトピー型として実現する具体的な多様体を構成すること。

提案手法

• パーミュトーディアルトーリック多様体上のプロジェクト型ラインバンドルの全空間として多様体 $X_{\tilde{L}}^{2n}$ を構成する。
• 2回の組合せ的アレクサンダー双対性を適用する：まず、軌道空間を球面上の部分複体の補集合と関連づけ、次に、軌道空間のホモロジーを双対複体のホモロジーと関連づける。
• $j$-一般位置条件を用いて特殊部分複体 $K_{\text{sp}}$ の次元を制御し、軌道空間における低次元ホモロジーの消滅を保証する。
• 単体複体に作用するサスペンションに類似した操作 $s(\bullet)$ を定義し、隣接性を高めつつホモトピー型を保存するようにし、$\Sigma^{j+2}M$ を軌道空間として実現可能にする。
• $H^{\text{odd}}(X) = 0$ であるとコホモロジカルに等置性であることを示し、セール・スペクトル系列が $E_2$ で収束することを保証する。
• 双対性とサスペンション同型の鎖を介して、軌道空間 $Q^{n+1} = X^{2n}/T^{n-1}$ が $\Sigma^3 L$ とホモトピー同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジカルに等置性の複雑度1トーラス作用の軌道空間が、3次元以上で任意のホモロジーを持つことができるか？
• RQ2 固定点における接ベクトルの重みが一般位置にない場合、軌道空間にどのような位相的制約が生じるか？
• RQ3 $j$-一般位置の概念は古典的な一般位置条件をどのように発展させ、軌道空間のホモトピー型に影響を与えるか？
• RQ4 任意の有限単体複体 $L$ が、このような作用の軌道空間のホモトピー型として実現可能か？
• RQ5 パーミュトーディアル多様体とプロジェクト型ラインバンドルは、所望の軌道空間位相を持つ作用を構成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の有限単体複体 $L$ に対して、$H^{\text{odd}}(X_{\tilde{L}}^{2n}) = 0$ かつ固定点が孤立している滑らかな閉多様体 $X_{\tilde{L}}^{2n}$ と、$T^{n-1}$-作用が存在し、$X_{\tilde{L}}^{2n}/T^{n-1} \simeq \Sigma^3 L$ が成り立つ。
• 軌道空間 $Q^{n+1}$ は次数 0, 1, 2 で非自明な還元ホモロジーを持たず、すべての $i \geq 0$ に対して $\widetilde{H}_{i+3}(Q^{n+1}) \cong \widetilde{H}_i(L)$ を満たす。
• 構成された多様体 $X_{\tilde{L}}^{2n}$ はパーミュトーディアル多様体上のプロジェクト型ラインバンドルの全空間であるため、作用はハミルトニアン的かつ等置性である。
• 任意の有限単体複体 $M$ と整数 $j \geq 1$ に対して、$j$-一般位置にある作用が存在し、その軌道空間は $\Sigma^{j+2}M$ とホモトピー同値である。
• この構成は、反復的なアレクサンダー双対性と、ホモトピー型を保存しながら隣接性を高める操作 $s(\cdot)$ に依存している。
• $L = \partial\Delta^{n-1}$ の場合、一般位置に対応し、ホモロジー球面が得られるが、これは例外的であり、一般の非一般位置の振る舞いを代表するものではない。