[論文レビュー] Total Forcing Sets in Trees

Randy Davila, Michael A. Henning|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、木 $ T $ の全強制数 $ F_t(T) $ に対して、タイトな上界と下界を確立する。$ F_t(T) \leq \frac{1}{\Delta}((\Delta-1)n + 1) $ が成り立ち、特定の木の族に対して等号が成立することを示し、$ F_t(T) \geq n_1 $ が成り立ち、$ T $ がパスまたはスターリンクに似た木のとき等号が成立することを示す。さらに、$ F_t(T) \geq F(T) + 1 $ が成り立ち、等号が成り立つのは $ T \in \mathcal{H} $ のときのみであり、$ F_t(T) $ と $ F(T) $ の差が任意に大きくできる木の構成も提示する。

ABSTRACT

A dynamic coloring of the vertices of a graph $G$ starts with an initial subset $S$ of colored vertices, with all remaining vertices being non-colored. At each discrete time interval, a colored vertex with exactly one non-colored neighbor forces this non-colored neighbor to be colored. The initial set $S$ is called a forcing set of $G$ if, by iteratively applying the forcing process, every vertex in $G$ becomes colored. If the initial set $S$ has the added property that it induces a subgraph of $G$ without isolated vertices, then $S$ is called a total forcing set in $G$. The minimum cardinality of a total forcing set in $G$ is its total forcing number, denoted $F_t(G)$. We prove that if $T$ is a tree of order $n \ge 3$ with maximum degree~$Δ$, then $F_t(T) \le \frac{1}Δ((Δ- 1)n + 1)$, and we characterize the infinite family of trees achieving equality in this bound. We also prove that if $T$ is a non-trivial tree with $n_1$ leaves, then $F_t(T) \ge n_1$, and we characterize the infinite family of trees achieving equality in this bound. As a consequence of this result, the total forcing number of a non-trivial tree is strictly greater than its forcing number. In particular, we prove that if $T$ is a non-trivial tree, then $F_t(T) \ge F(T)+1$, and we characterize extremal trees achieving this bound.

研究の動機と目的

• 順序 $ n $ および最大次数 $ \Delta $ の木について、全強制数 $ F_t(T) $ の最大値を特定すること。
• 上界に等号が成立する無限族の木を $ n $ と $ \Delta $ の観点から特徴づけること。
• $ F_t(T) \geq n_1 $ という下界を確立し、$ n_1 $ を葉の数とする。等号が成立する木を特徴づけること。
• $ F_t(T) $ と標準的強制数 $ F(T) $ の関係を調査し、$ F_t(T) \geq F(T) + 1 $ を示し、等号が成り立つのは $ T \in \mathcal{H} $ のときのみであることを証明すること。
• $ F_t(T) - F(T) $ の差を任意に大きくできる木の構成を行い、2つの不変量の間のギャップを示すこと。

提案手法

• 木の構造的分解と次数に基づく解析を用いて、$ F_t(T) \leq \frac{1}{\Delta}((\Delta-1)n + 1) $ を導出する。
• 頂点の次数と成分構造の分析を通じて、上界に等号が成立する極値木を特徴づける。特に最大次数を持つ頂点に注目する。
• 数学的帰納法と木の構造的性質を用いて、$ F_t(T) \geq n_1 $ を証明し、任意の全強制集合において、各葉は必ずその隣接頂点によって強制されることを示す。
• 強制数 $ F_t(T) $ と $ F(T) $ を保存するように、葉を持たない木に還元する「トリムド木」$ \mathrm{trim}(T) $ の概念を導入し、帰納的議論を可能にする。
• $ F_t(T) = F(T) + 1 $ が成り立つ木の族 $ \mathcal{H} $（パスおよびスターリンクに似た木）を定義し、強制的サポート頂点のケース解析を用いて、この等号が成り立つのは $ T \in \mathcal{H} $ のときのみであることを証明する。
• パスにパビリオン辺を追加することで、$ F_t(T) - F(T) $ のギャップが任意に大きくできる木の族を構成する。長さ $ k $ のパスに対して $ F_t(T) = 2k $、$ F(T) = k $ となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序 $ n $ および最大次数 $ \Delta $ の木 $ T $ に対して、全強制数 $ F_t(T) $ の最大値は何か？ また、どの木がこの上界に等号を達成するか？
• RQ2 どの木が $ F_t(T) = n_1 $ を満たすか？ ここで $ n_1 $ は葉の数である。この族はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 $ F_t(T) = F(T) + 1 $ が成り立つ条件は何か？ また、このような極値木の構造的特徴は何か？
• RQ4 $ F_t(T) $ と $ F(T) $ の差を任意に大きくできるか？ もしそうなら、どのようにしてそのような木を構成できるか？
• RQ5 一般の木において、不変量 $ F_t(T) $ と $ F(T) $ はどのように関係するか？ また、それらの間の最小ギャップは何か？

主な発見

• 順序 $ n \geq 3 $ および最大次数 $ \Delta $ の木 $ T $ に対して、$ F_t(T) \leq \frac{1}{\Delta}((\Delta-1)n + 1) $ が成り立ち、等号が成り立つのは、次数 $ \Delta $ の中心頂点から $ \Delta-1 $ 個の長さが等しいパスが接続された特定の木の族であるときのみである。
• 任意の木 $ T $ に対して $ F_t(T) \geq n_1 $ が成り立ち、等号が成り立つのは $ T $ がパス、または $ \mathrm{trim}(T) \cong K_{1,n-1} $ のとき、すなわち $ T \in \mathcal{H} $ のときである。
• 全強制数は標準的強制数よりも厳密に大きい：すべての非自明な木 $ T $ に対して $ F_t(T) \geq F(T) + 1 $ が成り立ち、等号が成り立つのは $ T \in \mathcal{H} $ のときのみである。
• $ \mathcal{H} $ は、パスであるか、またはトリムド木がスターモデル $ K_{1,n-1} $ に同型であるすべての木からなる族であり、$ F_t(T) $ と $ F(T) $ の間の最小ギャップを達成する唯一の木である。
• 任意の整数 $ k \geq 1 $ に対して、$ F_t(T) = F(T) + k $ となる木 $ T $ が存在する。これは長さ $ k $ のパスの各頂点に2本のパビリオン辺を追加することで構成され、$ F_t(T) = 2k $、$ F(T) = k $ となる。