[論文レビュー] Toward the Hanani-Tutte Theorem for Clustered Graphs

Radoslav Fulek|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、頂点が垂直に順序付けられたクラスタに分割され、辺が同じまたは隣接するクラスタ内の頂点のみを接続するグラフであるストリップクラスタードグラフについて、ハナニ・トゥッテの定理の弱い形を確立する。埋め込み済みストリップ平面グラフの禁止部分構造による特徴付けを導入し、マッチング理論と平面性基準の技術を活用することで、すべての辺のペアが偶数回交差するという条件を満たす描画が存在する場合、頂点の順序を保つ平面埋め込みが存在することを証明する。これは、古典的な弱いハナニ・トゥッテの定理と、レベルグラフにおける単調バージョンの両方を一般化する。

ABSTRACT

The weak variant of Hanani-Tutte theorem says that a graph is planar, if it can be drawn in the plane so that every pair of edges cross an even number of times. Moreover, we can turn such a drawing into an embedding without changing the order in which edges leave the vertices. We prove a generalization of the weak Hanani-Tutte theorem that also easily implies the monotone variant of the weak Hanani-Tutte theorem by Pach and Tóth. Thus, our result can be thought of as a common generalization of these two neat results. In other words, we prove the weak Hanani-Tutte theorem for strip clustered graphs, whose clusters are linearly ordered vertical strips in the plane and edges join only vertices in the same cluster or in neighboring clusters with respect to this order. In order to prove our main result we first obtain a forbidden substructure characterization of embedded strip clustered planar graphs. The Hanani-Tutte theorem says that a graph is planar, if it can be drawn in the plane so that every pair of edges not sharing a vertex cross an even number of times. We prove the variant of Hanani-Tutte theorem for strip clustered graphs if the underlying abstract graph is three connected or a tree. In the case of trees our result implies that c-planarity for flat clustered graphs with three clusters is solvable in a polynomial time if the underlying abstract graph is a tree. The proof of the latter result combines our forbidden substructure characterization of embedded strip clustered planar graphs with Tucker's characterization of 0-1 matrices with consecutive ones property.

研究の動機と目的

• 線形的に順序付けられた垂直ストリップ（ストリップクラスタードグラフ）を有するクラスタードグラフの設定において、弱いハナニ・トゥッテの定理を拡張すること。
• 埋め込み済みストリップ平面クラスタードグラフの禁止部分構造による特徴付けを確立し、アルゴリズム的および構造的解析を可能にする。
• 既知の二つの結果を統合・一般化すること：古典的な弱いハナニ・トゥッテの定理と、レベルグラフにおける単調バージョン。
• 抽象グラフが木である場合、3つのクラスタを持つフラットクラスタードグラフのc-平面性が多項式時間で解けることを示すこと。
• マトロイドに基づく技術を用いて、結果を系列並列グラフや他のグラフクラスへ拡張する可能性を検討すること。

提案手法

• クラスタが垂直に順序付けられ、辺が同じまたは隣接するクラスタ内の頂点のみを接続するという性質を持つ、レベルグラフの一般化としてストリップクラスタードグラフを導入する。
• 独立な辺のペアが偶数回交差する描画を「偶数描画」と定義し、このような描画が頂点の回転系を保つ平面埋め込みを許容することを証明する。
• 経路の重なりと頂点順序からの制約に基づいて、埋め込み済みストリップ平面グラフの禁止部分構造特徴付けを開発する。
• ハールの結婚定理を適用して、双対構造における妥当なマッチングの存在を保証し、これは有効な埋め込みに対応する。
• 元のグラフを重み付き辺を持つ多重グラフに変換して経路の交差をモデル化し、最小重み生成森の技術を適用する。
• 2-連結でないグラフに対応するための補助グラフの構成を一般化し、閉じ込められた頂点や不可能な経路の入れ替えに関する制約を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラスタが線形的に順序付けられ、辺が同じまたは隣接するクラスタ内の頂点のみを接続するストリップクラスタードグラフにおいて、弱いハナニ・トゥッテの定理を拡張できるか？
• RQ2 埋め込み済みストリップ平面クラスタードグラフの構造的条件は何か？ そして、禁止部分構造によって特徴付けられるか？
• RQ3 ストリップクラスタードグラフの描画において、すべての独立な辺のペアが偶数回交差するという条件が、頂点の回転系を保つ平面埋め込みの存在を示唆するか？
• RQ4 抽象グラフが木である場合、3つのクラスタを持つフラットクラスタードグラフのc-平面性問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 このアプローチは、系列並列グラフやサイクルを含まない成分を持つカチウスなどのより一般的なグラフクラスへどの程度拡張可能か？

主な発見

• 抽象グラフが3-連結、木、または2つの頂点を結ぶ内部素なパスの有限集合である場合、ストリップクラスタードグラフにおいて弱いハナニ・トゥッテの定理が成り立つ。
• 木の場合、3つのクラスタを持つフラットクラスタードグラフのc-平面性テストが多項式時間で解けることを示唆する。
• 経路の重なりと頂点順序からの制約に基づいて、埋め込み済みストリップ平面グラフの禁止部分構造特徴付けが確立された。
• 証明技法は、ハールの条件が妥当な埋め込みの存在を保証する制約付きマッチング問題への還元に依存する。
• 重み付き辺を持つ補助グラフの構成と最小全域木の技術により、交差数が等しい描画から平面埋め込みへの変換が可能になった。
• このアプローチは、古典的な弱いハナニ・トゥッテの定理と、レベルグラフにおける単調バージョンの両方を一般化しており、クラスタード設定における偶数交差条件のより広範な適用可能性を示唆している。