[論文レビュー] Towards $A + B$ theory in conifold transitions for Calabi-Yau threefolds

Yuan‐Pin Lee, Hui-Wen Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Calabi–Yau三様体 $X$ がコンパクト化遷移により $Y$ に移行する際、$A$-モデル（すべての生成数におけるGromov–Witten理論）と $B$-モデル（ホッジ構造の変動）の組み合わせが、$X$ 上のそれらの理論と $Y$ 上のそれらの理論を、消失サイクルと例外的曲線を結ぶ $\frac{1}{2}$-正確列を介して互いに決定することを確立している。主な結果は、過剰 $A$-理論と $B$-理論の間の $\frac{1}{2}$-双対性であり、モジュリ空間上の対数的接続を通じて統一された $A+B$ 理論の構築を示唆している。

ABSTRACT

For projective conifold transitions between Calabi-Yau threefolds $X$ and $Y$, with $X$ close to $Y$ in the moduli, we show that the combined information provided by the $A$ model (Gromov--Witten theory in all genera) and $B$ model (variation of Hodge structures) on $X$, linked along the vanishing cycles, determines the corresponding combined information on $Y$. Similar result holds in the reverse direction when linked with the exceptional curves.

研究の動機と目的

• Calabi–Yau三様体間の射影的コンパクト化遷移におけるGromov–Witten理論（$A$-モデル）およびホッジ構造の変動（$B$-モデル）の変換を理解すること。
• 消失サイクルと例外的曲線を結ぶことにより、$X$ および $Y$ 上の $A$-および $B$-モデルが互いに決定可能であることを確立すること。
• モジュリ空間上の対数的接続を用いて、過剰 $A$-および $B$-理論の間の $\tfrac{1}{2}$-双対性を構成すること。
• コンパクト化遷移の文脈において、統一された $A+B$ 理論の枠組みを提供すること。

提案手法

• 消失サイクルと例外的曲線を介して $X$ と $Y$ の位相的データを関連付ける正確列 $0 \to H^2(Y)/H^2(X) \xrightarrow{B} \mathbb{C}^k \xrightarrow{A^t} V \to 0$ の使用。
• $V$ 上のガウス＝マニン接続の対数的部と $H^2(Y)/H^2(X)$ 上のデュブロヴィン接続を用いた $\tfrac{1}{2}$-双対性の構成。
• 非還元的基底 $\mathcal{Z}_1 = Z_{\mathcal{M}_{\bar{X}}}(\mathscr{I}^2)$ 上の滑らかな族へのガウス＝マニン接続の適用により、ホッジ構造の変動をモジュリ空間の境界へ拡張すること。
• $H^3(U,\mathbb{C})$ からのホッジフィルトレーション $F^\bullet$ を、最初のホッジ＝ライマン双線形関係とグリフィスの横断性を用いて $H^3(X,\mathbb{C})$ へ上げること。
• モノドロミーが関係行列 $A$ によって定まる、$B$-モデル on $X$ を $Y \setminus Z = U$ 上の $B$-モデルから再構成するための周期写像 $\phi(r,s) = \exp(\sum_i \frac{\log w_i}{2\pi i} N^{(i)}) \psi(r,s)$ の適用。
• 周期写像 $\phi$ が関係行列 $A$ によって完全に決定されることを証明し、したがって $X$ 上の $B$-モデルが $Y$ 上の $B$-モデルによって決定されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ および $Y$ 上の $A$-および $B$-モデルは、コンパクト化遷移を介して互いに決定可能か？
• RQ2 過剰理論におけるガウス＝マニン接続およびデュブロヴィン接続の対数的部が、どのように結合して自明な理論を形成するか？
• RQ3 $Y \setminus Z$ 上の $B$-モデルが $X$ 上の $B$-モデルをどの程度まで決定するか？
• RQ4 $\mathcal{M}_X$ 上の周期写像は、$Y$ の幾何と関係行列 $A$ からどのように再構成可能か？
• RQ5 $\mathcal{M}_{\bar{X}}$ 及びその部分多様体 $\mathcal{M}_Y$ は、$A+B$ 構造を符号化するために果たす役割は何か？

主な発見

• $X$ 上の $A$-モデルと $Y$ 上の $B$-モデルは、$H^2(Y)/H^2(X)$ と消失サイクルの空間 $V$ を結ぶ正確列を介して、互いに決定可能である。
• $V$ 上のガウス＝マニン接続の対数的部と $H^2(Y)/H^2(X)$ 上のデュブロヴィン接続は、$(\underline{\mathbb{C}} \oplus \underline{\mathbb{C}}^\vee)^k$ 上の自明な対数的接続から生じており、過剰 $A$-および $B$-理論の間の $\tfrac{1}{2}$-双対性を示している。
• $\mathcal{M}_X$ への周期写像 $\phi: \mathcal{M}_X \to \mathbb{D}/\Gamma$ は関係行列 $A$ によって完全に決定され、$X$ 上の $B$-モデルが $Y \setminus Z$ 上の $B$-モデルに符号化されていることを示している。
• $H^3(X,\mathbb{C})$ 上のホッジフィルトレーション $F^\bullet$ は、最初のホッジ＝ライマン双線形関係を用いて $H^3(U,\mathbb{C})$ から一意に持ち上げられ、周期領域への最大の水平スライスの存在を保証している。
• $\operatorname{Def}(Y)$ は $H^1(U, T_U) \cong \operatorname{Def}(\bar{X})$ に埋め込まれており、$\mathcal{M}_Y$ は $\mathcal{M}_{\bar{X}}$ の部分多様体であり、$\mathcal{Z}_1$ は $\mathcal{M}_{\bar{X}}$ 内での $\mathcal{M}_Y$ の最初のジャンクション拡張である。
• $Y \setminus Z = U$ 上の $B$-モデルからの周期写像を用いて、$X$ 上の $B$-モデルは完全に再構成可能であり、それは行列 $A$ のみに依存する。これにより、$X$ 上の $B$-モデルが $Y$ 上の $B$-モデルによって決定されることを証明している。