[論文レビュー] Towards a Particle-Number Conserving Theory of Majorana Zero Modes in p+ip Superfluids

Yiruo Lin, Anthony J. Leggett|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2018

Topological Materials and Phenomena参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、p+ip超流動体におけるメジャナナ零モードの粒子数保存型フレームワークを構築し、BCS平均場理論の根本的限界であるU(1)対称性の破れと粒子数保存則の破れを解決する。ギャップ方程式を励起状態の準粒子占有状態に合わせて修正することで、ボゴリューボフ＝デギンス形式において粒子数保存則を回復させ、トポロジカル量子計算における信頼性の高い量子もつれを実現する上で、粒子数保存則が不可欠であることを示している。

ABSTRACT

Majorana zero modes are predicted to exist in p+ip (either inherent or effective due to proximity effect) superfluids and are proposed to be used for constructing topological qubits for topologically protected quantum computing. Existing theories on the subject are mostly based on BCS mean-field theory which breaks particle number conservation (U(1) symmetry). More specifically, Bogoliubov-de Gennes (BdG) equations are used to derive Majorana zero modes and their braiding properties. The broken particle number conservation is, on the other hand, respected in any fermionic condensed matter system and therefore may be crucial in studying quantum coherence, essential for quantum computing. In this paper, we work towards a particle-number conserving theory by examining the role played by particle number conservation in topological properties of Majorana zero modes. We conclude that the latter may be affected by the former and new theoretical framework that respects particle number conservation is needed in establishing (or dismissing) the existence of Majorana zero modes in p+ip superfluids and their application to topological quantum computing.

研究の動機と目的

• メジャナナ零モードの既存のBCS平均場理論における粒子数保存則の不一致（U(1)対称性の破れ）を是正すること。これはフェルミ粒子多体系において根本的な役割を果たす。
• p+ip超流動体におけるメジャナナ零モードのトポロジカル性質に粒子数保存則が与える影響を調査すること。
• 粒子数保存則を尊重する新しい理論的枠組みを構築し、これらの系におけるメジャナナ零モードの存在を検証または否定すること。
• トポロジカル量子計算への応用において不可欠な量子もつれの要件を満たすようにすること。
• ギャップ方程式を特定の励起状態の準粒子占有状態に合わせて調整することで、ボゴリューボフ＝デギンス方程式を再定式化し、粒子数電流の連続性を回復すること。

提案手法

• 準粒子生成・消滅演算子を用いて、ボゴリューボフ＝デギンス（BdG）形式における粒子数密度および電流演算子を導出する。
• 連続の方程式 $\dot{\rho} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$ を分析し、BdG形式における粒子数保存則の成立を評価する。
• 励起状態において、ギャップ方程式の不一致が原因で、標準的なBdG形式では粒子数保存則が成立しないことを特定する。
• 励起準粒子1個状態に対して、ギャップ方程式を $\Delta = V \sum_{m,\sigma \neq (n,\uparrow)} u_m v_m^* - u_n v_n^*$ に修正し、準粒子占有状態と一致させる。
• 修正されたギャップ方程式により、電流の発散が消えることを示し、$\langle \nabla \cdot \mathbf{j} \rangle = 0$ が成立し、粒子数保存則が回復されることを確認する。
• 自己無撞着なギャップ方程式と熱平衡平均を用いて、修正されたフレームワークが基底状態および励起状態の両方で保存則を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子数保存則は、p+ip超流動体におけるメジャナナ零モードのトポロジカル安定性および存在にどのように影響を与えるか？
• RQ2 標準的なBCS平均場理論は、なぜ励起状態において粒子数保存則を破るのか？その影響は量子もつれにどのような意味を持つのか？
• RQ3 修正されたギャップ方程式は、準粒子励起状態におけるBdG形式の粒子数保存則を回復させることができるか？
• RQ4 準粒子占有数が、トポロジカル超伝導体におけるBdG形式の妥当性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 標準的なBdGアプローチは、トポロジカル量子計算におけるメジャナナ零モードを記述するのに十分か、それとも新たな粒子数保存型形式が必要か？

主な発見

• 標準的なBCS平均場理論では、p+ip超流動体において励起状態で粒子数保存則が破れ、BdG形式において粒子電流の発散が非ゼロとなる。
• 1個の励起準粒子状態では、粒子数保存則の破れは $-4e \, \text{Im}(\Delta^* u_n v_n^*)$ に比例し、ギャップ方程式が調整されない限り消えない。
• 占有された準粒子状態を除外するようにギャップ方程式を再定義することで、修正された形式は粒子数保存則を回復し、$\langle \nabla \cdot \mathbf{j} \rangle = 0$ を達成する。
• 修正されたギャップ方程式 $\Delta = V(\sum_{m,\sigma \neq (n,\uparrow)} u_m v_m^* - u_n v_n^*)$ は準粒子占有状態と整合し、励起状態においても自己無撞着となる。
• 標準BdGアプローチにおける粒子数保存則の破れは $1/N$ のオーダーではあるが、局在化した準粒子状態では顕著になり、量子もつれを損なう。
• 結果として、トポロジカル超流動体におけるメジャナナ零モードの信頼できる理論的基盤およびそのトポロジカル量子計算への応用には、粒子数保存型フレームワークが不可欠であることが示唆される。