[論文レビュー] Towards a reversed Faber-Krahn inequality for the truncated Laplacian

Isabeau Birindelli, Giulio Galise+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、退化した完全非線形楕円型作用素である切断ラプラシアン作用素 $\mathcal{P}^{+}_{k}$ の主固有値問題を調査する。固定された体積を持つ長方形の中で、正方形が主固有値 $\mu_1^+$ を最大化することを示す逆Faber-Krahn不等式を確立する。これは、ラプラシアンに対しては球が固有値を最小化する古典的Faber-Krahn不等式とは対照的である。この結果は、1次元常微分方程式と凸解析を用いた固有関数の明示的構成により証明される。

ABSTRACT

We consider the nonlinear eigenvalue problem, with Dirichlet boundary condition, for a class of very degenerate elliptic operators, with the aim to show that, at least for square type domains having fixed volume, the symmetry of the domain maximize the principal eigenvalue, contrary to what happens for the Laplacian.

研究の動機と目的

• 切断ラプラシアン $\mathcal{P}^{+}_{k}$ に対して、領域の対称性が主固有値を最大化するかどうかを調査すること。これは、ラプラシアンに対する古典的Faber-Krahn不等式とは対照的である。
• $\mathcal{P}^{+}_{1}$ に対して正の固有関数が存在するためには厳密な凸性が必要かどうかを特定すること。特に、長方形のような非厳密凸領域においてもそのような固有関数が存在するか否かを検討する。
• ラプラシアンの主固有値が示す性質（例えば単調性や対称性の影響）が、切断ラプラシアンへと拡張可能かどうかを調査すること。
• $\mathcal{P}^{+}_{1}$ に対して逆Faber-Krahn不等式を確立すること。固定体積の長方形の中で、正方形が最大の固有値をもたらすことを示す。

提案手法

• 著者らは、ヘッセ行列の固有値 $\lambda_i$ を順序付けたものとして、切断ラプラシアンを $\mathcal{P}^{+}_{k}(D^2u) = \sum_{i=1}^k \lambda_{N+1-i}(D^2u)$ と定義する。
• 1次元関数の積として表される固有関数を、ヘッセ行列の最大固有値を含む常微分方程式の解を用いて、長方形領域に対して明示的に構成する。
• 存在性の証明には、高度な偏微分方程式の道具を用いずに、線形代数と常微分方程式論の基本的道具に依拠する。
• Perronの方法を用いて、有界領域における $\mathcal{P}^{+}_{1}(D^2u) + \mu u = 0$ のディリクレ問題の解の存在と一意性を確立する。
• 比較原理とバリア構成を用いて、解のホルダー連続性 $C^{0,\frac{\beta}{N}}$ を確立する。
• 同じ体積を持つ長方形間での固有値の比較により、逆Faber-Krahn不等式を導出する。その結果、正方形が $\mu_1^+$ を最大にすることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定体積の長方形に対して、切断ラプラシアン $\mathcal{P}^{+}_{1}$ の主固有値 $\mu_1^+$ は対称性の向上に伴って増加するか。
• RQ2 長方形のような非厳密凸領域においても、$\mathcal{P}^{+}_{1}$ に対して正の固有関数が存在するためには、厳密な凸性が必要か。
• RQ3 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ に対して、対称領域が固有値を最小化するのではなく最大化するという逆Faber-Krahn不等式が成立するか。
• RQ4 主固有値 $\mu_1^+$ とラプラシアンの主固有値 $\mu(\Delta)$ の間で、部分加法性の性質を比較するとどうなるか。Liebの不等式は $\mu_1^+$ に対して成立しないのか。
• RQ5 ディリクレ問題の解 $\mathcal{P}^{+}_{1}$ の正則性はどの程度か。特に、$\Omega$ の凸性仮定なしに、グローバルなホルダー連続性が成立するか。

主な発見

• 固定体積の長方形の中で、切断ラプラシアン $\mathcal{P}^{+}_{1}$ の主固有値 $\mu_1^+$ は正方形で最大となり、逆Faber-Krahn不等式が確立される。
• 同じ体積の球の主固有値は正方形のそれよりも大きいことから、逆不等式がさらに裏付けられる。
• 長方形であっても、$\mathcal{P}^{+}_{1}$ の明示的固有関数が存在することから、固有関数の存在には厳密な凸性が必須でないことが反証される。
• 領域 $\Omega$ が凸でない場合でも、適切な条件下で、$\mathcal{P}^{+}_{1}$ のディリクレ問題の解は $\overline{\Omega}$ 上でグローバルに $C^{0,\frac{\beta}{N}}$-ホルダー連続である。
• Lieb型の部分加法性不等式 $\mu(\Delta, A \cap B_x) < \mu(\Delta,A) + \mu(\Delta,B)$ は $\mu_1^+$ に対して成立せず、特定の長方形では逆転することすらある。
• 非負の上位解 $\mathcal{P}^{+}_{1}(D^2u) \leq f$ は、ホルダーノルムで不連続である例 $u(x) = 1/(\sigma - \sum \log(\cos x_i))$ を用いて、グローバルなホルダー連続性が失敗することが示される。