[論文レビュー] Towards a Thomason model structure on the category of strict n-categories

Dimitri Ara, Georges Maltsiniotis|arXiv (Cornell University)|May 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、通常の圏上のタマソンの古典的モデル構造を一般化し、厳密n-圏上のタマソン型モデル構造を構成するための抽象的枠組みを開発する。グロテンディークとチジンスキーのアイデアに基づき、古典的結果を含む抽象的タマソン定理を確立し、2-圏におけるタマソン定理の正しい証明を導く一方で、n ≥ 3 における高次の十分条件を特定する。

ABSTRACT

The purpose of this article is to present ideas towards obtaining a model category structure on the category of small strict n-categories, generalizing the one obtained by Thomason on ordinary categories. Following ideas of Grothendieck and Cisinski, we obtain an "abstract Thomason theorem", which easily implies the classical Thomason theorem. We deduce a 2-categorical Thomason theorem, an incorrect proof of which has been published by K. Worytkiewicz, K. Hess, P. Parent and A. Tonks. For n > 2, we isolate sufficient conditions to obtain an n-categorical Thomason theorem. These conditions will be investigated in further work.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、通常の圏上のタマソンモデル構造を厳密n-圏へ拡張することである。
• Worytkiewicz らが以前に発表した2-圏におけるタマソン定理の誤った証明を解消することにある。
• 目的には、グロテンディークとチジンスキーのアイデアを用いたn-Catにおけるモデル構造の一般的抽象的枠組みを確立することを含む。
• n > 2 における厳密n-圏上でのタマソン型モデル構造の存在に十分な条件を特定することにある。
• 本研究は、n-Catにおける異なるナース関手とモデル構造の整合性に関する今後の調査の基盤を築く。

提案手法

• 著者たちは、グロテンディークのホモトピー代数に関するアイデアにインspiredされた W-コフェイブルの理論を発展させる。
• 彼らは、圏論の概念をn-圏的設定へ一般化した「シーブとコシーブを備えた圏」の概念を導入する。
• 本稿では、ストリートn-ナースを介して単体的集合からn-圏へのモデル構造の転送定理を適用する。
• 抽象的タマソン定理を統合的原則として用い、これは古典的タマソン結果を特別な場合として含む。
• 2-圏の定理の証明は、2-シーブの再帰的オプラックス変形の安定性結果に依存する。
• 著者たちは、提案された2-Cat上のモデル構造におけるコフェイブル対象を分析し、今後の研究のための基礎的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n ≥ 2 に対して、厳密n-圏の圏上にタマソン型モデル構造を構成できるか？
• RQ2 抽象的タマソン定理枠組みは、古典的および2-圏的結果を統一的に含む原則を提供するか？
• RQ3 2-シーブおよびその変形にどのような条件が課されると、2-Cat 上のモデル構造の存在が保証されるか？
• RQ4 n > 2 に対して、厳密n-圏上でのタマソン型モデル構造の存在に十分な条件は何か？
• RQ5 ストリートn-ナース、単体的n-ナース、細胞的n-ナースといった異なるナース関手は、モデル構造における同値な弱同値をどのように誘導するか？

主な発見

• 抽象的タマソン定理が、Cat 上の古典的タマソン定理を含む一般的原則として確立された。
• Worytkiewicz らの以前の出版物における誤りを是正し、2-圏におけるタマソン定理の正しい証明が得られた。
• 2-シーブの再帰的オプラックス変形の安定性条件が同定され、2-圏のモデル構造を構成する上で不可欠な役割を果たす。
• n > 2 に対して、厳密n-圏上でのタマソン型モデル構造を構成可能な十分条件が特定された。
• 提案された2-Cat上のモデル構造におけるコフェイブル対象が特徴づけられ、今後の解析のための重要な技術的ステップが達成された。
• この枠組みは、ストリートn-ナース、単体的n-ナース、細胞的n-ナースがすべてHo(n-Cat)における同値な弱同値を誘導することの証明の出発点を提供する。