[論文レビュー] Towards Generalizing Schubert Calculus in the Symplectic Category

Rebecca Goldin, Susan Tolman|ArXiv.org|Apr 8, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアントーラス作用による固定点が孤立するコンパクトなシンプレクティック多様体の等置換コホモロジーにおける正規化クラスの新しい制限式を導入する。一般化されたモーメント写像成分とGKMグラフデータを活用することで、これらのクラスを固定点に制限する明示的に正の有理数式が得られ、等置換シューベルト計算を一般化し、インデックスを増加させるモーメント写像を持つGKMの場合に整数正規化クラスの存在を証明する。

ABSTRACT

The main purpose of this article is to extend some of the ideas from Schubert calculus to the more general setting of Hamiltonian torus actions on compact symplectic manifolds with isolated fixed points. Given a generic component of the moment map, we define a canonical class α_p in the equivariant cohomology of the manifold M for each fixed point p of M. When they exist, canonical classes form a natural basis of the equivariant cohomology of M; in particular, when M is a flag variety, these classes are the equivariant Schubert classes. We show that the restriction of a canonical class α_p to a fixed point q can be calculated by a rational function which depends only on the value of the moment map, and the restriction of other canonical classes to points of index exactly two higher. Therefore, the structure constants can be calculated by a similar rational function. Our restriction formula is manifestly positive in many cases, including when M is a flag manifold. Finally, we prove the existence of integral canonical classes in the case that M is a GKM manifold the moment map component is index increasing. In this case, our restriction formula specializes to an easily computable rational sum which depends only on the GKM graph.

研究の動機と目的

• ハミルトニアントーラス作用による固定点が孤立する一般のコンパクトシンプレクティック多様体へ、フラッグ多様体を超えたシューベルト計算を拡張すること。
• 等置換シューベルトクラスを一般化する等置換コホモロジーにおける正規化クラスを定義すること。
• モーメント写像の値とGKMグラフデータのみを用いて、これらのクラスの計算可能で明示的に正の制限式を導出すること。
• GKMでかつモーメント写像成分がインデックスを増加させる場合に、整数正規化クラスが存在することを証明すること。
• 等置換コホモロジールールの構造定数を計算する体系的な方法を提供すること。

提案手法

• 固定点 p における正の重みの積に制限され、すべての固定点 q に対して λ(q) ≤ λ(p) を満たす場合に消える、H_T^{2λ(p)}(M;ℚ) 内の等置換コホモロジークラス αₚ を正規化クラスとして定義する。
• モース関数として一般化されたモーメント写像成分 Ψ = Φ^ξ を用い、インデックス λ(p) と負の正規バンドル重みを定義する。
• Ψ値とインデックスが2つ高い r' に対する制限 α_r(r') のみに依存する、αₚ(q) の有理数制限式を導出する。
• GKMグラフが特定の正の性質を満たす場合、制限式が明示的に正であることを証明する。これはフラッグ多様体の場合を含む。
• 商空間からの持ち上げ構成を用いて、インデックスを増加させるモーメント写像を持つGKMの場合に整数正規化クラスの存在を確立する。
• GKM多様体にこの公式を特殊化する。制限をGKMグラフ内の経路の有理数和として表現し、辺の重みとモーメント写像値のみに依存するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグ多様体を超えて、固定点が孤立する一般のシンプレクティック多様体に対し、等置換コホモロジーにおける正規化クラスを定義できるか？
• RQ2 制限式がモーメント写像の値とGKMグラフ構造のみに依存する正規化クラスの制限式が存在するか？
• RQ3 自然な幾何的状況において、この制限式を明示的に正にすることができるか？
• RQ4 GKM設定において、整数正規化クラスが存在する条件は何か？
• RQ5 等置換コホモロジールールの構造定数は、制限データからどのように計算できるか？

主な発見

• 正規化クラス αₚ を固定点 q に制限した結果は、Ψ値とインデックスが2つ高い r' に対する α_r(r') のみに依存する有理関数で与えられる。
• 多くの場合、特に M がフラッグ多様体である場合、正のモーメント写像差と正の重みのため、制限式は明示的に正である。
• インデックスを増加させるモーメント写像を持つGKMの場合、整数正規化クラスが存在し、制限式はGKMグラフ内の経路の有理数和に簡略化される。
• フラッグ多様体 Fl(ℂⁿ) に対しては、制限式がすべて正の項しか含まず、すべてのモーメント写像差と重みが正であるためである。
• Kähler構造を持たないGKM多様体において、正規化クラス αₚ が一部の固定点に負に制限される例が存在し、これは負の Θ(p,q) 値によって示される。
• 等置換コホモロジールールにおける構造定数 c_pq^r は、制限データから公式 α_p α_q = ∑_r c_pq^r α_r を用いて計算可能である。