[論文レビュー] Towards multiple elliptic polylogarithms

A. Levin, Georges Racinet|ArXiv.org|Mar 8, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 58

ひとこと要約

本稿は、穴あき楕円曲線およびモジュライスタック ${\mathscr{M}}_{1,n}$ 上のDe Rham基本群コホーショングループとタンナキアンカテゴリを用いて、複数の楕円型多価対数関数の幾何的・代数的枠組みを構築する。普遍族上の $\mathbb{Q}$-代数的接続の存在と $\mathbb{G}_m$-不変性を証明し、引き戻しとねじりを用いて基本ホップ代数に標準的な $\mathbb{Q}$-構造を定義し、古典的多価対数関数の構成を楕円的設定へ拡張する。

ABSTRACT

We investigate the elliptic analogs of multi-indexed polylogarithms that appear in the theory of the fundamental group of the projective line minus three points as sections of a universal nilpotent bundle with regular singular connection. We use an analytic uniformisation to derive the fundamental nilpotent De Rham torsor of a single elliptic curve in terms of a double Jacobi form introduced by Kronecker. We then extend this result to any smooth family, relatively to the base, i.e., to the moduli stack $M_{1,2}$ over $M_{1,1}$. Everything relies on explicit formulas that turn out to be algebraic for rational (families of) elliptic curves, and we conclude by providing the corresponding natural $\QM$ structure.

研究の動機と目的

• 古典的および多重多価対数関数を、幾何的およびモチーフ的構造を用いて楕円的設定へ一般化すること。
• 穴あき楕円曲線およびモジュライスタック ${\mathscr{M}}_{1,n}$ 上のDe Rhamパス基本 torsor を用いて、多重楕円型多価対数関数を定義し構成すること。
• これらの torsor に関連する基本ホップ代数に標準的な $\mathbb{Q}$-代数的構造を確立すること。
• 普遍族上の解析的接続が引き戻しとねじりを用いて正則な代数的 $\mathbb{Q}$-接続に拡張されることを証明すること。
• 構成された代数的接続が底空間および全空間で $\mathbb{G}_m$-不変性を示すこと。

提案手法

• 穴あき楕円曲線のDe Rham基本群コホーショングループを用いて、上半平面およびモジュライスタック ${\mathscr{M}}_{1,1}$ 上に普遍的な平坦接続を定義する。
• タンナキアン形式的および相対タンナキアン理論を適用して、基本 torsor 及びその関連接続を再構成する。
• ${\mathscr{M}}_{1,1}$ 上に、イーゼンスタイン級数とリー代数構造を用いて普遍接続代数を構成し、モジュラー性と $\mathbb{G}_m$-不変性を保証する。
• 接続の明示的公式を $u$, $\tau$, および生成子 $\mathbf{t}_{\text{alg}}$, $\mathbf{s}_{\text{alg}}$ の項で得る。係数は $g_2$, $g_3$, および $(2\pi i)^{-1}u^2 d\tau$ に値をとる。
• 局所的均一化および引き戻し構成を用いて、$\mathbb{Q}$-スキーム上の家族へ底面からの $\mathbb{Q}$-代数的構造を上げる。
• $\mathbb{Q}$-代数的1形式による接続のねじりを適用し、$\mathbb{Q}$-有理点における基本ホップ代数に $\mathbb{Q}$-構造を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュライ空間 ${\mathscr{M}}_{1,n}$ 上の幾何的およびモチーフ的構造を用いて、複数の楕円型多価対数関数を体系的に定義する方法は何か？
• RQ2 穴あき楕円曲線上のパスの基本 torsor の代数的幾何的構造は何か？ そして、それが普遍的平坦接続を支えるにはどう寄与するか？
• RQ3 普遍族上の解析的De Rham接続に標準的な $\mathbb{Q}$-代数的構造を付与することは可能か？
• RQ4 $\mathbb{G}_m$-不変性は、代数的および解析的設定の両方でどのように現れるか？
• RQ5 ねじりの役割は、$\mathbb{Q}$-有理点における基本ホップ代数への $\mathbb{Q}$-構造の拡張にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、底面 ${\mathcal{B}}$ 上の $\mathbb{Q}$-代数的接続 $({\mathcal{R}}_{\text{alg}}, \nabla_{{\mathcal{R}}_{\text{alg}}})$ および ${\mathcal{Q}}^{\text{aff}}$ 上の $({\mathfrak{P}}_{\text{alg}}, \nabla_{{\mathfrak{P}}_{\text{alg}}})$ を構成し、複素数体への基底変換の後、解析的接続に一致する。
• 構成された接続は $\mathbb{G}_m$-不変性を示し、モジュラーパラメータ $\tau$ のスケーリング対称性と整合性を持つ。
• 接続係数は $g_2$, $g_3$, および代数的微分形式 $(2\pi i)^{-1}u^2 d\tau$ の多項式として表現され、$\mathbb{Q}$ 上の代数的性が証明される。
• ${\mathbb{Q}}$-スキーム上の家族 $X/S$ への代数的 $\mathbb{Q}$-接続の引き戻しは、$g_2$, $g_3$ の選択に依存しない正則な代数的 $\mathbb{Q}$-接続を与える。これは $\mathbb{G}_m$-不変性のおかげである。
• $\mathbb{Q}$-代数的1形式によるねじりは $\mathbb{Q}$-構造を保ち、$\mathbb{Q}$-有理点における基本ホップ代数が標準的な $\mathbb{Q}$-代数的構造を引き継ぐ。
• 平行移動の微分方程式が $\mathbb{Q}$-代数的であることが示され、その係数は $\wp(X) - X^{-2}$ のテイラー展開から得られる。