[論文レビュー] Towards Noncommutative Integrable Equations

Masashi Hamanaka, Kouichi Toda|ArXiv.org|Sep 30, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 43被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、Lax表現とSato理論を用いて、非可換（NC）空間への可積分系の拡張を試み、新しいNC Lax方程式および階層を構築する。非可換Cole-Hopf変換を用いて、無限階の時間微分を含むにもかかわらず、NC Burgers方程式が完全可積分であることを証明し、拡散方程式に線形化されることを示す。

ABSTRACT

We study the extension of integrable equations which possess the Lax representations to noncommutative spaces. We construct various noncommutative Lax equations by the Lax-pair generating technique and the Sato theory. The Sato theory has revealed essential aspects of the integrability of commutative soliton equations and the noncommutative extension is worth studying. We succeed in deriving various noncommutative hierarchy equations in the framework of the Sato theory, which is brand-new. The existence of the hierarchy would suggest a hidden infinite-dimensional symmetry in the noncommutative Lax equations. We finally show that a noncommutative version of Burgers equation is completely integrable because it is linearizable via noncommutative Cole-Hopf transformation. These results are expected to lead to the completion of the noncommutative Sato theory.

研究の動機と目的

• 空間座標が [x^i, x^j] = iθ^{ij} を満たす非可換（NC）空間への、Lax表現を有する可積分方程式の拡張。
• KdV や Burgers のような古典的可積分方程式のNC版が、非線形項における無限階の時間微分を含んでも可積分性を保つかどうかの調査。
• Sato理論の枠組み内でNC階層の存在を確立し、NC可積分系に隠された無限次元対称性の可能性を示唆する。
• 非可換Cole-Hopf変換の類似物を用いて、NC Burgers方程式の完全可積分性を示す。
• 非可換Sato理論の完成に向けた基盤を築き、Hirotaの双線形化をNC設定に拡張することを目的とする。

提案手法

• 与えられたL作用素に対してB作用素を生成するLaxペア生成技術を用い、B = ∂_x^{n}L^m + B′ の形を仮定し、裸の微分を除去するようにB′を選び取る。
• Sato理論を適用して、NC KdV、NC Boussinesq、NC Burgers方程式を含む非可換可積分方程式の階層を導出する。
• 非可換場の積を f⋆g = exp(iθ^{ij}∂_{x′_i}∂_{x″_j}/2)f(x′)g(x″)|_{x′=x″=x} で定義し、結合則を保証する。
• 非可換Lax方程式 [∂_t - B, L]_⋆ = 0 を導出する。ここで星積は作用素に作用するが、微分演算子には作用せず、微分構造を保存する。
• 非可換Cole-Hopf変換 v = ψ^{-1}⋆ψ_x を導入し、NC Burgers方程式を線形NC拡散方程式 ψ_t = ψ_xx に写像する。
• Fourier法を用いて線形化されたNC拡散方程式を解き、e^{iθk^3/2} 要素によって変形された明示的なNショック波解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sato理論は非可換空間へ拡張可能であり、NC可積分方程式の階層を生成できるか？
• RQ2 KdV や Burgers のような古典的可積分方程式のNC版が、無限階の時間微分を含んでも可積分性を保つのか？
• RQ3 非可換Burgers方程式は線形化可能か？ もしそうなら、どのような変換がこれを可能にするか？
• RQ4 NC方程式における非対称な非線形項の形が、線形化を可能にする役割を果たすのか？
• RQ5 NC階層の存在は、NC Lax方程式に隠された無限次元対称性の存在を示唆するのか？

主な発見

• 本稿では、Laxペア生成技術とSato理論を用いて、新しいクラスの非可換Lax方程式を構築し、NC階層の存在を確立した。
• 非可換Cole-Hopf変換を用いて、NC Burgers方程式が完全可積分であることが示され、線形NC拡散方程式に還元された。
• 線形化されたNC拡散方程式 ψ_t = ψ_xx は、ψ(t,x) = 1 + Σ h_i e^{iθk_i^3/2} e^{k_i^2 t ± k_i x} の形の解を許容し、非自明なNC歪み効果が現れる。
• N=1およびN=2の場合、e^{iθk^3/2} 要素による非自明なNC補正が確認され、1ショック波解は星積の同一引数における可換性により、可換版に還元される。
• NC Burgers方程式における非線形項の非対称な形が、線形化を可能にする上で不可欠である。対称な形（NC KdVにおけるもの）では、このような線形化は不可能である。
• 結果から、非可換Sato理論が妥当であり、その完成は目前であることが示唆され、次なる鍵となるステップとしてHirotaの双線形化の拡張が期待される。