[論文レビュー] Towards Optimal Separations between Quantum and Randomized Query Complexities

Avishay Tal|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ランダムな直交行列を用いた $k$-fold Forrelation 問題の新規変種を提示し、量子クエリ複雑度が $2^{O(k)}$、ランダム化クエリ複雑度が $\tilde{\theta}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ であることを示した。この結果により、部分ブール関数における量子とランダム化クエリ複雑度の間で、$O(1)$ 対 $N^{2/3 - \varepsilon}$ の最適な分離が初めて達成された。この分離は、意思決定木の擬似ランダム性に関するフーリエ解析的手法によって得られた。

ABSTRACT

The query model offers a concrete setting where quantum algorithms are provably superior to randomized algorithms. Beautiful results by Bernstein-Vazirani, Simon, Aaronson, and others presented partial Boolean functions that can be computed by quantum algorithms making much fewer queries compared to their randomized analogs. To date, separations of $O(1)$ vs. $\\sqrt{N}$ between quantum and randomized query complexities remain the state-of-the-art (where $N$ is the input length), leaving open the question of whether $O(1)$ vs. $N^{1/2+\\Omega(1)}$ separations are possible? We answer this question in the affirmative. Our separating problem is a variant of the Aaronson-Ambainis $k$-fold Forrelation problem. We show that our variant: (1) Can be solved by a quantum algorithm making $2^{O(k)}$ queries to the inputs. (2) Requires at least $\ ilde{\\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ queries for any randomized algorithm. For any constant $\\varepsilon>0$, this gives a $O(1)$ vs. $N^{2/3-\\varepsilon}$ separation between the quantum and randomized query complexities of partial Boolean functions. Our proof is Fourier analytical and uses new bounds on the Fourier spectrum of classical decision trees, which could be of independent interest. Looking forward, we conjecture that the Fourier bounds could be further improved in a precise manner, and show that such conjectured bounds imply optimal $O(1)$ vs. $N^{1-\\varepsilon}$ separations between the quantum and randomized query complexities of partial Boolean functions.

研究の動機と目的

• 既知の量子とランダム化クエリ複雑度の分離のギャップを埋めること、特に $O(1)$ 対 $N^{1/2 + \Omega(1)}$ の分離が可能かどうかを明らかにすること。
• 現在の最先端の $O(1)$ 対 $\sqrt{N}$ の分離を改善するため、より強い分離を達成する新しい問題変種を構築すること。
• ランダムな直交行列を用いた $k$-fold Rorrelation 問題が、ランダム化アルゴリズムに対して $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ クエリを必要とすることを証明すること。
• 深さ $d$ の意思決定木関数の $L_{1,\ell}$-ノルムに関するフーリエ解析的境界を確立し、これが下界の証明の中心的役割を果たすことを示すこと。
• よりタイトなフーリエ境界が、最適な $O(1)$ 対 $N^{1-\varepsilon}$ の分離をもたらすと予想し、クエリ複雑度の境界をさらに前進させること。

提案手法

• ハダマード行列の代わりに一様にランダムな直交行列を用いた、$k$-fold Forrelation 問題の新規変種、すなわち $k$-fold Rorrelation を導入すること。
• Rorrelation 関数を、$k$ 個の入力ベクトルとランダムな直交行列 $U$ を含む多変量線形形式として定義し、構造的入力とランダム入力を区別することを目的とする。
• 再帰的なハダマードに類似した変換を用いることで、量子アルゴリズムが $2^{O(k)}$ クエリで $k$-fold Rorrelation 問題を解けることを証明すること。
• 意思決定木のフーリエスペクトルを分析し、その $L_{1,\ell}$-ノルムの境界を用いて、任意のランダム化意思決定木が $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ クエリを必要とすることを確立すること。
• ランダムな直交行列から得られる入力分布 $\mathcal{D}_{U,k}$ の擬似ランダム性を用いて、浅いランダム化意思決定木がこれを一様入力から区別できないことを示すこと。
• 分布 $\mathcal{D}_{U,k}$ に関するモーメントの境界を導出し、それらを用いて、意思決定木の $\mathcal{D}_{U,k}$ 上での期待値が一様入力での値に近いことを示し、クエリ複雑度の下界に繋げること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分ブール関数において、$O(1)$ 対 $N^{1/2 + \Omega(1)}$ の量子とランダム化クエリ複雑度の分離は達成可能か？
• RQ2 ランダムな直交行列を用いた $k$-fold Rorrelation 問題はランダム化アルゴリズムにとって困難であり、その困難性はフーリエ解析によって証明可能か？
• RQ3 深さ $d$ の意思決定木の $L_{1,\ell}$-ノルムのタイトな境界は何か？ そして、クエリ複雑度の下界とどのように関係するか？
• RQ4 ランダムな直交行列から得られる $k$-タプルの分布 $\mathcal{D}_{U,k}$ の擬似ランダム性は、ランダム化クエリ複雑度の下界を証明するために活用可能か？
• RQ5 意思決定木のフーリエ境界が改善されれば、$O(1)$ 対 $N^{1-\varepsilon}$ の最適な分離が得られるだろうか？

主な発見

• 本稿は、量子クエリ複雑度が $2^{O(k)}$（固定された $k$ に対して定数）であり、ランダム化クエリ複雑度が $\tilde{\Omega}(N^{2(k-1)/(3k-1)})$ である部分ブール関数を構築した。
• 任意の定数 $\varepsilon > 0$ に対して、この構成により、量子とランダム化クエリ複雑度の間で $O(1)$ 対 $N^{2/3 - \varepsilon}$ の分離が達成された。
• 量子アルゴリズムは $2^{O(k)}$ クエリで $k$-fold Rorrelation 問題を解けるが、これは Aaronson と Ambainis が $k$-fold Forrelation に対して示した上界と一致する。
• ランダム化クエリ複雑度の下界は、深さ $d$ の意思決定木の $L_{1,\ell}$-ノルムに関する新しいフーリエ解析的境界から得られ、$L_{1,\ell}(f) \leq \binom{d}{\ell}$ を示した。
• ランダムな直交行列から得られる $k$-タプルの分布 $\mathcal{D}_{U,k}$ は、浅いランダム化意思決定木に対して擬似ランダムであるため、下界の確立が可能になった。
• 著者らは、意思決定木の $L_{1,\ell}$-ノルムに関するよりタイトな境界が、最適な $O(1)$ 対 $N^{1-\varepsilon}$ の分離をもたらすと予想しており、クエリ複雑度の境界における残りのギャップを埋める道筋を示唆している。