[論文レビュー] Towards the finite slope part for $\mathrm{GL}_n$

Christophe Breuil, Florian Herzig|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体 $L$ 上のクリスタル的 $n$ 次元ガロア表現 $\rho$ に対して、主系列の局所解析的 socle を用いて、$\mathrm{GL}_n(L)$ の有限長の局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的表現 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ を構成する。この表現は、やや弱い一般性条件の下で $p$-進自己形式の空間に埋め込まれることを証明し、有限勾配の場合の $p$-進局所ラングランズ予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Let $L$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$ and $n\geq 2$. We associate to a crystabelline $n$-dimensional representation of $\mathrm{Gal}(\overline L/L)$ satisfying mild genericity assumptions a finite length locally $\mathbb{Q}_p$-analytic representation of $\mathrm{GL}_n(L)$. In the crystalline case and in a global context, using the recent results on the locally analytic socle from [BHS17a] we prove that this representation indeed occurs in spaces of $p$-adic automorphic forms. We then use this latter result in the ordinary case to show that certain "ordinary" $p$-adic Banach space representations constructed in our previous work appear in spaces of $p$-adic automorphic forms. This gives strong new evidence to our previous conjecture in the $p$-adic case.

研究の動機と目的

• クリスタル的ガロア表現 $\rho$ に対して、やや弱い一般性仮定の下で、$\mathrm{GL}_n(L)$ の有限長の局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的表現 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ を構成すること。
• $\rho$ がクリスタル的であるとき、$\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ が $p$-進自己形式の空間に部分表現として現れることを示すこと。
• この結果を通常型の場合に拡張し、先行研究で得られた特定の $p$-進バナッハ空間表現が $p$-進自己形式に現れることを証明すること。
• 有限勾配部が自己形式の $p$-進バナッハ空間部分表現として部分表現として実現されることにより、$p$-進局所ラングランズ予想に対する強い証拠を提供すること。

提案手法

• 主系列の最大部分表現の直和からの商として $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ を構成し、$\rho$ の局所解析的 socle に現れる既約成分によってフィルトレーションを施す。
• 局所解析的 socle $\mathcal{C}^{\operatorname{soc}}(\rho)$ を用い、これはホッジ＝テイト重みの置換とフロベニウス固有値のリファインメントによってパラメトライズされる既約表現 $C(w^{\mathrm{alg}}, \mathcal{F})$ からなる。
• 文献 [BHS17a] における局所解析的 socle の結果を応用し、$\widehat{S}(U^p,E)_{\mathbb{Q}_p\text{-an}}[\mathfrak{m}_r]$ の中で既知の最大の部分表現を同定する。
• 普遍ユニタリ完備化と局所解析的表現の間の部分的随伴関係を用いて、この構成を自己形式と関連付ける。
• 同型 $\operatorname{Hom}_{\underline{G}(F_p^+)}(\widehat{\otimes}\Pi(r_{\widetilde{v}})_{C_{r_{\widetilde{v}}},w_{\widetilde{v}}^{-1}}(\varepsilon^{n-1}), \widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]) \cong \varprojlim \operatorname{Hom}(\widehat{\otimes}\mathrm{PS}(w_{\widetilde{v}}, \sigma_{\widetilde{v}}w_{\widetilde{v}})^{\wedge}(\varepsilon^{n-1}), \cdots)$ を用い、socle からの埋め込みを全表現へ拡張する。
• 必要となる $\mathrm{GL}_n(L)$-表現が自動形式空間内に存在することを確立するため、予想 5.10 と定理 5.11 に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリスタル的ガロア表現 $\rho$ がやや弱い一般性条件を満たすとき、$\mathrm{GL}_n(L)$ の有限長の局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的表現を明示的に構成できるか？
• RQ2 構成された表現 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ は、$p$-進自己形式の空間に部分表現として現れるか？
• RQ3 通常型の場合に、著者が以前に構成した $p$-進バナッハ空間表現は $p$-進自己形式に現れるか？
• RQ4 自動形式の $p$-進バナッハ空間表現の有限勾配部は有限長であり、自動形式空間に埋め込まれるか？
• RQ5 この構成は、$\mathrm{GL}_n$ に対する $p$-進局所ラングランズ対応にどの程度の証拠を提供するか？

主な発見

• 表現 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ は、$\rho$ に関連する主系列の局所解析的 socle を用いて、$\mathrm{GL}_n(L)$ の有限長で、適切で、局所 $\mathbb{Q}_p$-解析的表現として構成される。
• クリスタル的 $\rho$ の場合、$\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ は $\widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$ の局所解析的ベクトルに埋め込まれ、$n \geq 2$ の場合に、自動形式における有限勾配部の最初の明示的実現を提供する。
• 通常型の場合、定理により $\widehat{\otimes}_{v|p} \Pi(r_{\widetilde{v}})^{\mathrm{ord}}(\varepsilon^{n-1})$ が $\widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$ に単射で埋め込まれることが示され、通常型の $p$-進バナッハ空間表現が自動形式に現れることを示す。
• 埋め込みは $\bigoplus_w \left(\widehat{\otimes}_{v|p} \Pi(r_{\widetilde{v}})_{C_{r_{\widetilde{v}}},w_{\widetilde{v}}^{-1}}(\varepsilon^{n-1})\right)^{\oplus n_w} \hookrightarrow \widehat{S}(U^p,E)[\mathfrak{m}_r]$ で与えられ、ここで $n_w$ は socle 内の $\mathrm{GL}_n(L)$-不変ベクトルの重複度を数える。
• この構成により、[BH15, Conj. 4.2.2] の予想が、予想 5.10 の下で、クリスタベリンの場合に確認され、[BH15, Thm. 4.4.8] の元の証明における誤りも是正される。
• 有限勾配部 $\Pi(\rho)^{\mathrm{fs}}$ は $n \geq 2$ の場合、$\widehat{S}(U^p,E)_{\mathbb{Q}_p\text{-an}}[\mathfrak{m}_r]$ の中で既知の最大の部分表現であり、さらなる進展にはおそらく新しいアイデアが必要となる。