[論文レビュー] Towards Vertex Algebras of Krichever-Novikov Type, Part I

Klaus-Juergen Linde|ArXiv.org|May 29, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、標準的なローレンツ級数場の代わりに正則線形束のテンソル冪の切断を用い、シュットキー＝クラインの原始形式およびツェゴ核を用いてオペレータ積展開を再定式化することで、高 genus のリーマン面への頂点代数の一般化を提案する。主な貢献は、genus が 0 の場合に古典的ケースに還元される、頂点代数の新しい定義の確立である。

ABSTRACT

It is shown that a certain representation of the Heisenberg type Krichever-Novikov algebra gives rise to a state field correspondence that is quite similar to the vertex algebra structure of the usual Heisenberg algebra. Finally a definition of Krichever-Novikov type vertex algebras is proposed and its relation to vertex algebras is discussed.

研究の動機と目的

• リーマン球面（genus 0）からの頂点代数の概念を高 genus のリーマン面へ一般化すること。
• 正則線形束のテンソル冪のメロモルフィック切断を用いた状態-場対応の定義。
• 形式的変数の差の代わりにシュットキー＝クラインの原始形式を用いて局所性公理を再定式化すること。
• コンpakto なリーマン面上の conformal field theory と整合性のある枠組みを確立すること。
• 提案された定義が genus 0 の場合に古典的頂点代数構造に還元されることを示すこと。

提案手法

• ベクトル空間 V の要素から、正則線形束およびツェゴ核展開を含む形式的級数の自己準同型への状態-場対応を定義する。
• リーマン面上での場の正規順序積を、ツェゴ核をカーネル関数として組み込む。
• 古典的ケースにおける微分 ∂ の幾何的類似物として、変換作用素 ∇ を導入する。
• 標準的な局所性条件 [a(z),b(w)](z−w)^N = 0 を、[Y(A,P),Y(B,Q)](E(P,Q))^N が X×X 上で正則かつ多価関数であるように置き換える。
• ツェゴ核から導かれる delta 分布 Δ(P,Q) 及びその微分 d_PΔ(P,Q) を用いて、オペレータ積展開を定式化する。
• ヘイゼンベルク型 Krichever-Novikov代数の表現を構成し、古典的頂点代数構造に類似した状態-場対応を誘導する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な頂点代数構造は、正則線形束や原始形式などの幾何的データを用いて、高 genus のリーマン面へ一般化可能か？
• RQ2 高 genus の conformal field theory において、幾何的構造と整合性を保つためにオペレータ積展開はどのように変更すべきか？
• RQ3 genus g ≥ 1 のリーマン面の文脈において、真空および変換公理の適切な類似物は何か？
• RQ4 複素パラメータがリーマン面上の幾何的データに置き換えられた場合、古典的頂点代数の局所性条件はどのように変化するか？
• RQ5 Krichever-Novikov型頂点代数の提案された定義は、genus 0 に制限した場合に古典的頂点代数を回復するか？

主な発見

• 提案された Krichever-Novikov 型頂点代数の定義は、genus が 0 の場合に古典的頂点代数に還元され、単項式 z^{-n-λ} が幾何的切断 f_λ^n(P) の代わりに用いられる。
• 変換公理は、古典的ケースにおける標準的微分 ∂ の代わりに、共変微分 ∇ を用いて一般化される。
• 局所性公理はシュットキー＝クラインの原始形式 E(P,Q) を用いて再定式化され、[Y(A,P),Y(B,Q)](E(P,Q))^N が X×X 上で正則かつ多価関数である。
• アフィン Krichever-Novikov代数のオペレータ積展開は、[a(P),b(Q)] = [a,b](P)Δ(P,Q) + d_PΔ(P,Q) と表され、Δ(P,Q) はツェゴ核から導かれる delta 分布である。
• [a(P),b(Q)](E(P,Q))^2 が X×X 上で正則であることが示され、一般化された局所性条件の整合性が確認された。
• ヘイゼンベルク型 KN代数の表現を用いた状態-場対応の構成により、古典的頂点代数に類似した構造が得られ、幾何的一般化の妥当性が裏付けられた。