[論文レビュー] Trace formulae for Schrödinger operators on lattice

Evgeny Korotyaev|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トレースクラスに属さない複素かつ減衰するポテンシャルを有する格子 ℤᵈ 上のシュレーディンガー作用素に対して、トレース公式を確立する。自由リゾルベントの推定とハーディー空間における解析を組み合わせることで、ポテンシャルの関数として固有値および特異スペクトル測度の明示的評価を得ており、次元 d ≥ 3 において、より広いポテンシャルクラスへの結果の拡張を達成している。

ABSTRACT

We consider Schrödinger operators with complex decaying potentials (in general, not from trace class) on the lattice. We determine trace formulae and estimate of eigenvalues and singular measure in terms of potentials. The proof is based on estimates of free resolvent and analysis of functions from Hardy space.

研究の動機と目的

• トレースクラスに属さない複素ポテンシャル V を有する離散シュレーディンガー作用素 H = Δ + V に対して、トレース公式を導出すること。
• d = 3 の場合 p < 6/5、d ≥ 4 の場合 p < 4/3 を満たす ℓᵖ(ℤᵈ) に属するポテンシャルに対して、固有値およびスペクトル測度推定に関する先行結果を拡張すること。
• ハーディー空間 ℋ∞(𝔻) 内の修正デターミナント D(z) を用いて、固有値の分布および特異スペクトル測度の境界を確立すること。
• コンformal mapping λ(z) = (d/2)(z + 1/z) および関連するスペクトル変数 z ∈ 𝔻 を用いて、作用素 H のスペクトル的性質を分析すること。
• ポテンシャルノルム ‖V‖ₚ の関数として、(1 - |zⱼ|)、|Im λⱼ|、|Re 𝝳(λⱼ)| の和に対する定量的評価を提供すること。
• 単位円上でのスペクトル測度 μ に関するトレース公式を導出し、固有値の和を e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t) の積分と関連付けること。

提案手法

• 修正デターミナント D(z) = ℰ(λ(z)) を定義し、ℰ(λ) を (I + VR₀(λ))e⁻ᵛᴿ⁰⁽ˡ⁾ の正則化デターミナントとすることで、単位円板 𝔻 内で正則性を保証する。
• スペクトル領域 Λ = ℂ ∖ [−d, d] を単位円板 𝔻 に写像する conformal mapping λ(z) = (d/2)(z + 1/z) を用い、z = 0 が ∞ に対応することを示す。
• 関数 D(z) に対してハーディー空間理論を適用し、‖D‖ℋ∞(𝔻) ≤ exp(C*²‖V‖ₚ²/2) を示す。ここで C* は d と p に依存する定数。
• D(z) の対数微分を 𝔻ᵣ₀ 内で ψ(z) = −∑ₖ≥₂ ψₖzᵏ のテイラー級数として表現し、ψ₂ = (a²/2)Tr V² および a = 2/d を得る。
• スペクトル測度 μ を単位円 𝕋 に、固有値と関連付けることでトレース公式を導出し、∫𝕋 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t) = (d/2π)∑ⱼ (1/zⱼⁿ − z̄ⱼⁿ) を得る。これにより、Tr(Vⁿ) および ℛⁿ と関連付ける。
• 𝝳(λ) = √(λ² − d²) の恒等式を用いて、固有値およびスペクトルデータの実部と虚部を単位円上の積分で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレースクラスに属さない複素ポテンシャルを有する ℤᵈ 上のシュレーディンガー作用素に対して、どのようにしてトレース公式を確立できるか？
• RQ2 V が ℓᵖ(ℤᵈ) に属する場合に、修正デターミナント D(z) がハーディー空間 ℋ∞(𝔻) に属し、スペクトルトレース公式を有するための最適な ℓᵖ(ℤᵈ) 条件は何か？
• RQ3 H = Δ + V の固有値および特異スペクトル測度は、単位円上でのスペクトル測度 μ のフーリエ係数とどのように関係するか？
• RQ4 ポテンシャルノルム ‖V‖ₚ の関数として、(1 - |zⱼ|)、|Im λⱼ|、|Re 𝝳(λⱼ)| の和に対する定量的評価は何か？
• RQ5 n ≥ 2 の場合に、Tr(Vⁿ) および ∫𝕋 e⁻ⁱⁿᵗ dμ(t) を含むトレース公式を高次項まで拡張できるか？

主な発見

• 修正デターミナント D(z) は単位円板 𝔻 内で正則であり、‖D‖ℋ∞(𝔻) ≤ exp(C*²‖V‖ₚ²/2) を満たす。ここで C* は d と p に依存する。
• 作用素 H = Δ + V の固有値 {λⱼ} は、zⱼ = (λⱼ − √(λⱼ² − d²))/d を用いて、∑ⱼ [(1 - |zⱼ|) + |Im λⱼ| + |Re 𝝳(λⱼ)|] < ∞ を満たす。
• 対数微分 ψ(z) = log D(z) は 𝔻ᵣ₀ 内で ψ(z) = −∑ₖ≥₂ ψₖzᵏ のテイラー展開をもち、ψ₂ = (a²/2)Tr V² および a = 2/d を満たす。
• 最初のトレース公式は ∑ⱼ (1/zⱼ − z̄ⱼ) = (d/2π)∫𝕋 e⁻ⁱᵗ dμ(t) であり、これにより ∑ⱼ (Re 𝝳(λⱼ) + i Im λⱼ) = (d/2π)∫𝕋 e⁻ⁱᵗ dμ(t) が得られる。
• 2次項に関しては、∑ⱼ (𝝳₁λ₁ − λ₂𝝳₂) = (1/2)Re Tr V² + (d²/4π)∫𝕋 cos(2t) dμ(t) が成り立ち、虚部に対しても同様の式が得られる。
• Im V ≥ 0（または Re V ≥ 0）の条件下では、∑ⱼ |Im λⱼ| ≤ dC*²‖V‖ₚ² および ∑ⱼ |Re 𝝳(λⱼ)| ≤ dC*²‖V‖ₚ² が成り立ち、スペクトルデータに対する一様な境界が得られる。