[論文レビュー] Trace formulas for Wiener--Hopf operators with applications to entropies of free fermionic equilibrium states

Hajo Leschke, Alexander V. Sobolev+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 29被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、非滑らか関数および非有界領域における1次元ウィーナー–ホプフ作用素の非滑らか関数に対する一様なトレースノルム推定と準古典的漸近公式を確立し、ハロルド・ウィドムの古典的結果を非滑らか関数および非有界領域へと拡張する。著者らはこれらのトレース公式を応用し、正の温度における自由フェルミ粒子系のエンタングルメントエントロピー（EE）および局所エントロピーの鋭い一様漸近挙動を導出し、零温度極限における基底状態EE挙動と整合することを示す。主な貢献は、小温度Tおよび大きなα（準古典的パラメータ）の両方において鋭いまま保たれる熱的EEの統一的漸近公式であり、Tに関する対数的発散性が、α ∼ 1/T と特定することで、既知の零温度結果と一致する。

ABSTRACT

We consider non-smooth functions of (truncated) Wiener--Hopf type operators on the Hilbert space $L^2(\mathbb R^d)$. Our main results are uniform estimates for trace norms ($d\ge 1$) and quasiclassical asymptotic formulas for traces of the resulting operators ($d=1$). Here, we follow Harold Widom's seminal ideas, who proved such formulas for smooth functions decades ago. The extension to non-smooth functions and the uniformity of the estimates in various (physical) parameters rest on recent advances by one of the authors (AVS). We use our results to obtain the large-scale behaviour of the local entropy and the spatially bipartite entanglement entropy (EE) of thermal equilibrium states of non-interacting fermions in position space $\mathbb R^d$ ($d\ge 1$) at positive temperature, $T>0$. In particular, our definition of the thermal EE leads to estimates that are simultaneously sharp for small $T$ and large scaling parameter $\alpha>0$ provided that the product $T\alpha$ remains bounded from below. Here $\alpha$ is the reciprocal quasiclassical parameter. For $d=1$ we obtain for the thermal EE an asymptotic formula which is consistent with the large-scale behaviour of the ground-state EE (at $T=0$), previously established by the authors for $d\ge 1$.

研究の動機と目的

• 滑らか関数に限られた先行研究の制限を克服し、ウィーナー–ホプフ作用素の準古典的トレース漸近公式を非滑らか関数へと拡張すること。
• 温度Tや準古典的パラメータαといった物理的パラメータにわたる一様なトレースノルム推定を、非滑らか関数を含む作用素差に対して確立すること。
• 位置空間Rd（d ≥1）における非相互作用フェルミオンの熱的平衡状態における、局所的および二部エントロピー（EE）の大規模挙動を解析すること。特にT > 0およびα → ∞の領域において注目する。
• 小温度および大α極限においても鋭いまま保たれる熱的EEの漸近公式を導出すること。Tにたいする対数依存性が、零温度結果と一致する。

提案手法

• 自己共役作用素の非滑らか関数fを複素平面への積分表示により表現するためのヘルファー＝シュトラウスの公式の使用により、作用素差の解析を可能にする。
• 温度Tなどの物理的パラメータに依存する作用素ノルムを制御するためのマルチスケール記号a(ξ)の導入により、αおよびTにわたる一様推定を保証する。
• 最近のウィーナー–ホプフ作用素の非滑らか関数に対するシュレーディンガー＝フォン・ノイマンノルム推定の進展を応用し、トレースクラス（S1）およびシュレーディンガークラスSqにおける一様な境界を導出する。
• 1次元における作用素差Dα(a, Λ; f)のトレースの準古典的漸近公式の導出には、滑らか関数と特異的成分にfを滑らかなカットオフ関数を用いて分解する手法を用いる。
• トレースと作用素差写像f ↦ Dα(a, Λ; f)の線形性を活用し、記号の異なる部分への寄与に分解することで、漸近解析を可能にする。
• マルチスケール記号フレームワークを用いて、γ-Rényiエントロピー関数ηγに対する作用素差Dα(aT,µ, Λ; ηγ)のトレースノルムに対する一様な境界を確立する。定数はαおよびTに依存せず（αT ≥ α0 > 0の下で）、一様性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィーナー–ホプフ作用素のトレースの準古典的漸近公式を、特に1点で特異性を示す関数fに対して非滑らか関数へとどのように拡張できるか。
• RQ2 温度Tや準古典的パラメータαといった物理的パラメータにわたる、作用素差Dα(a, Λ; f)のトレースノルムに対する一様推定はどのように得られるか。
• RQ3 正の温度T > 0における自由フェルミオン系の熱的平衡状態における、エンタングルメントエントロピー（EE）および局所エントロピーの大規模漸近挙動は何か。
• RQ4 T → 0およびα → ∞の同時極限における熱的EEはどのように振る舞い、既知の零温度漸近挙動を回復するか。

主な発見

• d = 1の場合、エンタングルメントエントロピーHγ(T, µ; αI)は、α → ∞およびαT ≥ α0 > 0の下で、Hγ(T, µ; αI) = 2ωB(aT,µ, ηγ) + o(|log(T)| + 1)という漸近公式を満たす。ここでω = ω(I) = ω(Ic)である。
• Iが有界であるとき、局所γ-RényiエントロピーはSγ(T, µ; αI) = αsγ(T, µ)|I| + 2KB(aT,µ; ηγ) + o(|log(T)| + 1)を満たす。ここでsγ(T, µ)はエントロピー密度、Kは幾何的係数である。
• 零温度極限（T ↓ 0）において、エンタングルメントエントロピーはHγ(T, µ; αI) = ωN(1 + γ/(6γ))|log(T)| + o(|log(T)| + 1)と漸近的に振る舞う。ここでNはフェルミ面の連結成分数である。
• 対数項における係数ωN(1 + γ/(6γ))は、基底状態EEに対して既知の零温度結果と完全に一致し、T = 0とT > 0の領域間での整合性を確認する。
• 本稿では一様なトレースノルム境界を確立する：∥Dα(aT,µ, Λ; ηγ)∥S1 ≤ Cαd−1(|log(T)| + 1)。定数はαおよびTに依存せず（αT ≥ α0の下で）、フェルミ記号aT,µに対して鋭い。
• 非滑らか関数fに対して、f = fφ + f(1−φ)と滑らかなカットオフ関数φを用いた分解を介して、作用素差Dα(a, Λ; f)のトレースの漸近公式を導出する。得られた項はマルチスケール記号フレームワークを用いて推定される。