[論文レビュー] Entanglement entropies of an interval in the free Schr\"odinger field theory at finite density

Mihail Mintchev, Diego Pontello+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2022

Quantum many-body systems参考文献 210被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、有限密度における自由フェルミオン的シュレーディンガー場理論（Lifshitz指数 z=2）におけるもつれエントロピーを調査し、もつれエントロピーがフェルミ運動量と区間長によって定義される長方形領域の位相空間面積に比例する次元なしパラメータに依存することを示している。回転楕円体関数とタウ関数の漸近展開を用いて、位相空間面積が小さいおよび大きい場合の解析的展開を導出し、非相対論的版のエントロピー C 関数が単調でないことが明らかになった。また、Lifshitz指数 z の偶奇が、自由フェルミオン的モデルのクラスにおけるもつれ構造を支配していることが判明した。

ABSTRACT

We study the entanglement entropies of an interval on the infinite line in the free fermionic spinless Schr\"odinger field theory at finite density and zero temperature, which is a non-relativistic model with Lifshitz exponent $z=2$. We prove that the entanglement entropies are finite functions of one dimensionless parameter proportional to the area of a rectangular region in the phase space determined by the Fermi momentum and the length of the interval. The entanglement entropy is a monotonically increasing function. By employing the properties of the prolate spheroidal wave functions of order zero or the asymptotic expansions of the tau function of the sine kernel, we find analytic expressions for the expansions of the entanglement entropies in the asymptotic regimes of small and large area of the rectangular region in the phase space. These expansions lead to prove that the analogue of the relativistic entropic $C$ function is not monotonous. Extending our analyses to a class of free fermionic Lifshitz models labelled by their integer dynamical exponent $z$, we find that the parity of this exponent determines the properties of the bipartite entanglement for an interval on the line.

研究の動機と目的

• Lifshitzスケーリング（z=2）を有する非相対論的量子場理論における二部もつれを理解すること。特に、有限密度における挙動を対象とする。
• もつれエントロピーが次元なし位相空間面積パラメータ η に依存することを確立すること。
• 特殊関数と漸近解析を用いて、小および大 η の領域におけるもつれエントロピーの解析的表現を導出すること。
• 非相対論的版のエントロピー C 関数が、相対論的場理論と同様に単調減少するかどうかを調査すること。
• 整数 z を持つ自由フェルミオン的 Lifshitz モデルに一般化し、z の偶奇がもつれ構造に与える影響を特定すること。

提案手法

• もつれスペクトルを決定する固有値を有する、有限区間上のサインカーネル積分作用素を用いる。
• ゼロ次回転楕円体関数を用いて、サインカーネルのスペクトル問題を分析する。
• 特に小および大 η の極限において、サインカーネルのタウ関数を漸近展開を用いて計算する。
• 格子模型の結果と連続極限を結ぶために、Fisher-Hartwig の予想およびその一般化を活用する。
• レプリカ・トリックとスペクトルゼータ関数技術を用いて、もつれエントロピーおよびRényiエントロピーを計算する。
• 結果を整数 z を持つ一般のLifshitz指数に拡張し、奇数 z および偶数 z におけるモジュラーハミルトニアンおよびもつれ構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由シュレーディンガー場理論における有限密度下で、もつれエントロピーは位相空間面積パラメータ η にどのように依存するか？
• RQ2 連続極限においてもつれエントロピーは有限かつ適切に定義されるか？また、小および大 η の領域における解析的形はどのようなものか？
• RQ3 非相対論的版のエントロピー C 関数は、相対論的CFTと同様に、η に沿ったフローで単調減少するか？
• RQ4 Lifshitz指数 z の偶奇は、自由フェルミオン的モデルにおける二部もつれ構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 XX鎖の格子結果が二重スケーリング極限 η = κF L において、本研究で得られた連続極限の解析的表現と一致するか？

主な発見

• もつれエントロピーは、次元なし位相空間面積パラメータ η の有限で単調増加関数である。
• 小 η の極限において、もつれエントロピーは log(η) に比例する対数的発散を示し、その普遍的係数はサインカーネルのタウ関数から導出される。
• 大 η の極限において、もつれエントロピーは定数値に収束し、その補正項はポリログ関数およびベルヌーイ数を含む級数で記述される。
• 非相対論的版のエントロピー C 関数は単調でないため、相対論的 CFT で観察される挙動とは矛盾する。
• 整数 z を持つ自由フェルミオン的Lifshitzモデルにおいて、z の偶奇がもつれスペクトルの定性的構造およびモジュラーハミルトニアンの振る舞いを決定する。
• 二重スケーリング極限 η = κF L において、連続極限の解析的展開と格子結果が一致し、既知のFisher-Hartwigの漸近形と整合することが確認された。