[論文レビュー] Traces of CM values and cycle integrals of polyharmonic Maass forms

Toshiki Matsusaka|arXiv (Cornell University)|May 5, 2018

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ひとこと要約

本稿は、半整数重の多調和弱マース形式の基底を構成し、そのフーリエ係数の算術的公式を、CM値のトレースとサイクル積分を用いて導出する。ZagierのCMトレースの生成関数に関する結果を、多調和マース形式へ一般化し、イーゼンスタイン級数のローラン係数を通じて、j不 invariant や log|η(z)|⁴ といったモジュラー関数の既知の結果を統一的な枠組みで扱う。

ABSTRACT

Lagarias and Rhoades generalized harmonic Maass forms by considering forms which are annihilated by a number of iterations of the action of the xi-operator. In our previous work, we considered polyharmonic weak Maass forms by allowing the exponential growth at cusps, and constructed a basis of the space of such forms. This paper focuses on the case of half-integral weight. We construct a basis as an analogue of our work, and give arithmetic formulas for the Fourier coefficients in terms of traces of CM values and cycle integrals of polyharmonic weak Maass forms. These results put the known results into a common framework.

研究の動機と目的

• 半整数重の多調和弱マース形式におけるCM値のトレースとサイクル積分の理論を拡張すること。
• 従来の整数重における研究に類似した、そのような形式の空間の基底を構成すること。
• フーリエ係数の明示的な算術的公式を、CM値のトレースとサイクル積分を用いて導出すること。
• j不 invariant や log|η(z)|⁴ といった既知の結果を、イーゼンスタイン級数のローラン係数を通じて一つの枠組みで統一すること。

提案手法

• 半整数重の多調和弱マース形式を、上半平面に定義された滑らかな関数として定義する。この関数は Γ₀(4) の作用に関して不変であり、r 回の ξ 演算子の作用で消える。また、尖点で多項式的成長を示す。
• イーゼンスタイン級数の正則的射影を用いて、多調和マース形式の正則的部を抽出する。
• イーゼンスタイン級数 G_D,m(z,s) の s=1 または s=3/4 におけるローラン係数を計算し、正則的部のフーリエ係数と関連付ける。
• ポアンカレ級数の関数等式とスペクトル分解を適用し、係数を類数とL関数を用いて表現する。
• 重さ 1/2 の設定を扱うために、クロネッカー記号とデデキンドエータ関数を用い、スラッシュ作用素を適切に定義する。
• 実解析的イーゼンスタイン級数の既知の展開と、s=1 の近傍における挙動を用い、必要なローラン係数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半整数重の多調和マース形式におけるCM値トレースの生成関数は、調和マース形式のZagierの結果を一般化してモジュラーであるか？
• RQ2 半整数重の多調和弱マース形式のフーリエ係数は、CM値とサイクル積分を用いて算術的にどのように表現できるか？
• RQ3 イーゼンスタイン級数のローラン係数が、類数やL値といった算術的データと半整数重のモジュラー形式をどのように結びつけるか？
• RQ4 任意のモジュラー不変関数 f に対して、生成関数 ∑ₙ Tr_d(f)q⁻ⁿ が、重さ 1/2、深さ 3/2 の多調和マース形式の正則的部として実現可能か？
• RQ5 f(z) = −log(y|η(z)|⁴) のとき、Tr_d(f) は半整数重の場合に L 値と類数とどのように関係するか？

主な発見

• F_{1/2,0,0}(z) の正則的部のフーリエ係数は、3/√d 倍のトレース Tr_d,1(1) で与えられ、クライネッカー＝フールツの公式を通じて類数と結びつく。
• 基本的判別式 D ≠ 1 のとき、d が平方でない限りトレース Tr_d,D(1) は 0 に等しく、d が平方であれば √|dD|L_D(1)/π に等しくなる。これにより、L関数と直接的な関係が確立される。
• 生成関数 ∑_{d<0} Tr_d(−log(y|η(z)|⁴))q⁻ᵈ は、重さ 1/2、深さ 3/2 の多調和マース形式の正則的部として実現される。
• ローラン係数 LC_{s=1}^{-1}[G_{D,0}(z,s)]^hol は恒等的に 0 に等しく、D ≠ 1 のとき ∑_{d<0} Tr_d,D(1)q⁻ᵈ = 0 が成り立つ。
• f(z) = −log(y|η(z)|⁴) のとき、生成関数 ∑_{d<0} Tr_d(f)q⁻ᵈ は、イーゼンスタイン級数の正則的射影を通じてモジュラー形式であることが示される。
• F_{1/2,0,0}(z) の正則的部における q⁻ᵈ の係数は、D > 1 のとき Tr_d,D(−log(y|η(z)|⁴)) に比例し、比例定数は 3/(√(dD)L_D(1)) に等しい。