[論文レビュー] A polyharmonic Maass form of depth 3/2 for SL_2(Z)

Scott Ahlgren, Nickolas Andersen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

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ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対して重み $1/2$、深さ $3/2$ の多項調マース形式を構成し、従来正則化やポincare級数によってのみ知られていた形式の直接的実現を提供する。平方添え字フーリエ係数の取り扱いが困難である問題に対し、拡張された内積を導入し、それらをモジュラー関数のトレースと一般化されたヒルツェット類数に結びつける。

ABSTRACT

Duke, Imamoglu, and Toth constructed a polyharmonic Maass form of level 4 whose Fourier coefficients encode real quadratic class numbers. A more general construction of such forms was subsequently given by Bruinier, Funke, and Imamoglu. Here we give a direct construction of such a form for the full modular group and study the properties of its coefficients. We give interpretations of the coefficients of the holomorphic parts of each of these polyharmonic Maass forms as inner products of certain weakly holomorphic modular forms and harmonic Maass forms. The coefficients of square index are particularly intractable; in order to address these, we develop various extensions of the usual normalized Peterson inner product using a strategy of Bringmann, Ehlen and Diamantis.

研究の動機と目的

• 完全なモジュラー群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対して、重み $1/2$、深さ $3/2$ の多項調マース形式を構成し、レベル構造を超えた直接的実現を提供すること。
• ポincare級数構成における極に起因する、多項調マース形式における平方添え字フーリエ係数の取り扱いの困難さを解消すること。
• ブリンマン、エーレン、ディアマントスの戦略を模倣して、正則化内積を拡張し、弱正則モジュラー形式および調和マース形式に対して新しい内積 $\langle \cdot, \cdot \rangle_1$ を定義すること。
• 形式の正則部分の係数を、弱正則モジュラー形式および調和マース形式を含む内積として解釈すること。
• 平方添え字項の係数とモジュラー関数のトレースおよび一般化されたヒルツェット類数 $h^*(d)$ の間の明確な公式を確立すること。

提案手法

• 定数関数 $1$ からの正則化されたシータリフトを用いて、$\Gamma_0(4)$ 上で重み $1/2$、深さ $3/2$ の多項調マース形式 $\bm{Z}(\tau)$ を構成し、後に $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に拡張する。
• 指数的減衰 $e^{-wy}$ を用いた積分の解析接続により定義される、新たな内積 $\langle h_d, F \rangle_1$ を導入し、$w=0$ においても有効であるようにする。
• 多項調性を $\xi_k = 2iy^k \overline{\partial / \partial \overline{\tau}}$ を用いて定義し、$\xi_{1/2} \bm{Z} = -2 \widehat{\bm{Z}}_-$ により既知の調和マース形式と関連付ける。
• レギュレータ $R(d)$ と類数を用いて定義される一般化されたヒルツェット関数 $h^*(d)$ を用い、$d > 0$ 全体にわたってフーリエ係数を一様に表現する。
• 平方判別式の場合に生じる指数的増大項を処理するため、ブリンマン、エーレン、ディアマントスの戦略を応用し、内積の拡張を可能にする。
• 明示的な公式 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_1 = -\operatorname{Tr}_d(f) + \chi_{12}(\sqrt{d})\left(\operatorname{Tr}_1(f) - 12 \frac{h^*(d)}{\sqrt{d}} - i\right)$ を導出し、平方添え字係数問題を解決する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なモジュラー群 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対して、重み $1/2$、深さ $3/2$ の多項調マース形式を明示的にどのように構成できるか？
• RQ2 標準的な正則化内積では捉えきれない、このような形式における平方添え字フーリエ係数の解釈は何か？
• RQ3 フーリエ係数が指数関数的に増大する（たとえば $d$ が完全平方のとき）ような状況において、正則化内積を拡張できるか？
• RQ4 形式の正則部分の係数は、モジュラー関数のトレースおよび一般化されたヒルツェット類数とどのように関係しているか？
• RQ5 平方添え字項の係数と $\Gamma_0(6)$ 上のモジュラー関数 $f$ の間の明確な関係は何か？

主な発見

• 本稿は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対して重み $1/2$、深さ $3/2$ の多項調マース形式 $\bm{Z}(\tau)$ を構成し、$d > 0$ のとき $h^*(d)/\sqrt{d}$、$d < 0$ のとき $\beta_{1/2}(4\pi|d|y)q^d$、非正則項として $\alpha(4n^2y)q^{n^2}$ を含むフーリエ展開を持つ。
• 平方添え字項の係数は、存在し well-defined である拡張内積 $\langle h_d, F \rangle_1$ を用いて解釈され、$d$ が平方数であっても成立する。
• 公式 $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_1 = -\operatorname{Tr}_d(f) + \chi_{12}(\sqrt{d})\left(\operatorname{Tr}_1(f) - 12 \frac{h^*(d)}{\sqrt{d}} - i\right)$ により、平方添え字係数が完全に解釈される。
• 正則化内積 $\langle h_d, F \rangle_{\operatorname{reg}}$ は $d$ が平方数でない場合にのみ存在し、このとき $\sqrt{24} \langle h_d, F \rangle_{\operatorname{reg}} = -\operatorname{Tr}_d(f)$ が成り立つ。
• 拡張内積 $\langle h_d, F \rangle_1$ は、$I(h_d, F; w)$ の積分を $w = 0$ まで解析接続することで定義され、$d$ が平方数のときの発散問題を解決する。
• 結果として、平方添え字フーリエモードの係数と $\Gamma_0(6)$ 上のモジュラー関数 $f$ のトレースとの明確な関係が確立され、$h^*(d)/\sqrt{d}$ および $i$ を含む補正項が付加される。