[論文レビュー] Traces on crossed products

Sergey Neshveyev|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな距離化可能空間 $ X $ に可換な群 $ G $ が作用するときの交叉積 C*-代数 $ C(X) \rtimes G $ 上のトレースを完全に特徴づける。トレースは安定化部分群 $ G_x $ 上の可測なトレースの場に一致し、$ u_g $ 上のトレースは $ g \in G_x $ でない限り消える。また、このようなトレースと、$ C^*(G_x) $ 上で整合性を持つトレースを備えた $ X $ 上の不変測度との間の双対性を確立する。主な貢献は、安定化部分群のトレースと不変測度に基づくトレースの構造的分解である。

ABSTRACT

We give a description of traces on C(X) times G in terms of measurable fields of traces on the C*-algebras of the stabilizers of the action of G on X.

研究の動機と目的

• コンパクト距離化可能空間上の群作用に対して、交叉積 C*-代数 $ C(X) \rtimes G $ 上のトレースの構造を記述すること。
• 群作用の安定化部分群 $ G_x $ を通してトレースがどのように因子化されるかを明確にすること。
• トレースが $ C(X) \rtimes G $ 上に存在する場合と、$ C^*(G_x) $ 上の可測なトレースの場が整合的である場合との間の正確な対応関係を提供すること。
• 群 $ G = \mathbb{Z} $ の場合にこの記述を拡張し、アペリオーディックな軌道と周期的軌道からの寄与にトレースを分解すること。

提案手法

• 状態の中心化子を用いて、$ j: C^*(G) \to C(X) \rtimes G $ を標準的同型写像として、$ \Phi(f \otimes a) = \varphi(f j(a)) $ により $ C(X) \otimes C^*(G) $ 上に状態 $ \Phi $ を定義する。
• $ C(X) $ に関する $ \Phi $ の分解により、$ X $ 上の確率測度 $ \nu $ と $ C^*(G) $ 上の状態 $ \varphi_x $ を得る。このとき $ \Phi = \int^\oplus \varphi_x \, d\nu(x) $ と表される。
• $ \nu $-ほとんど everywhere での $ x $ に対して、すべての $ g \notin G_x $ に対して $ \varphi_x(\lambda_g) = 0 $ であることを確立する。これは、交叉積上のトレースを特徴づける。
• $ C(X) $ を中心化子に含む $ C(X) \rtimes G $ 上のトレースと、安定化条件を満たすこのような分解状態 $ \Phi $ の間の双対性を証明する。
• GNS構成と表現論を用いて、状態 $ \Phi $ を再び $ C(X) \rtimes G $ 上の状態へと持ち上げ、中心化子条件が保たれることを保証する。
• $ G = \mathbb{Z} $ の場合、トレースを、$ \mathbb{T} $ 上のLebesgue測度を用いた条件付き期待値によるアペリオーディック点に支持されるトレースと、$ \mathbb{T} $ 上の回転不変測度を用いた周期的軌道に支持されるトレースの和に分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ C(X) \rtimes G $ 上のトレースは、群作用の安定化部分群 $ G_x $ をどのように記述できるか？
• RQ2 $ C^*(G_x) $ 上の可測なトレースの場が、全交叉積上へのトレースに拡張されるために満たすべき条件は何か？
• RQ3 系統に可算個の周期的軌道が存在するとき、$ C(X) \rtimes \mathbb{Z} $ 上のトレースはどのように分解されるか？
• RQ4 動作のエルゴディシティは、交叉積上のトレース構造にどのような役割を果たすか？
• RQ5 $ C(X) \rtimes G $ 上の極値トレースは、群作用と不変測度を用いて分類可能か？

主な発見

• $ C(X) \rtimes G $ 上のトレースは、$ \varphi_x(\lambda_g) = 0 $（$ g \notin G_x $ の場合）を満たす $ C^*(G_x) $ 上の状態の族 $ \varphi_x $ と、$ X $ 上の不変測度 $ \nu $ に関して可測であるようなものと、双対性がある。
• $ G = \mathbb{Z} $ の場合、$ C(X) \rtimes \mathbb{Z} $ 上の任意のトレーシング状態 $ \tau $ は、一意的に $ \tau = \nu_* \circ E + \sum_i \lambda_{i,*} \circ E_{x_i} $ と分解される。ここで $ \nu $ は $ T $-不変測度で $ \nu(O_i) = 0 $ を満たし、$ \lambda_i $ は $ \mathbb{T} $ 上で $ |O_i| $-回転不変である。
• 周期軌道をもつ $ C(X) \rtimes \mathbb{Z} $ 上のトレースは、$ E_{x}(fu^m) = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=0}^{n-1} f(T^k x) \right) u^m $ により与えられ、その後 $ \mathbb{T} $ 上の $ n $-回転不変測度による積分が行われる。
• $ C(X) \rtimes G $ 上の極値トレースは、測度 $ \nu $ がエルゴディックで、群 $ G $ の作用が本質的に自由である場合に生じ、因子表現に対応する。
• $ \nu $ が周期 $ n $ の単一の軌道にのみ支持されるとき、トレースは交叉積 $ C(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \rtimes \mathbb{Z} $ を通して因数分解され、双対性により $ C(\mathbb{T}) \rtimes \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} $ に同型である。
• $ \varphi_x(\lambda_g) = 0 $（$ g \notin G_x $ の場合）であることは、状態 $ \Phi $ が $ C(X) \rtimes G $ 上のトレースを定義するための必要十分条件である。