[論文レビュー] Traces on finite W-algebras

Pavel Etingof, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、古典的有限W代数の零番目のポissonホモロジーと、それらの量子版である量子W代数の零番目のホッジホモロジーを計算し、両者とも任意の中心的文字で割った場合、対応するスプリンガー層の上位コホモロジー群に同型であることを示している。これにより、量子W代数の有限次元既約表現の数に上界が与えられ、ドッドの以前の結果とも整合する。

ABSTRACT

We compute the space of Poisson traces on a classical W-algebra modulo an arbitrary central character, i.e., linear functionals on such an algebra invariant under Hamiltonian derivations. This space identifies with the top cohomology of the corresponding Springer fiber. As a consequence, we deduce that the zeroth Hochschild homology of the corresponding quantum W-algebra modulo a central character identifies with the top cohomology of the corresponding Springer fiber. This implies that the number of irreducible finite-dimensional representations of this algebra is bounded by the dimension of this top cohomology, which was established earlier by C. Dodd using reduction to positive characteristic. Finally, we prove that the entire cohomology of the Springer fiber identifies with the so-called Poisson-de Rham homology (defined previously by the authors) of the classical W-algebra modulo a central character.

研究の動機と目的

• 古典的有限W代数の零番目のポアソンホモロジーと、それらの量子変形の零番目のホッジホモロジーを計算すること。
• 両ホモロジー空間が、任意の中心的文字で割った場合、対応するスプリンガー層の上位コホモロジー群に同型であることを確立すること。
• 代表論的および幾何的不変量をD加群理論とハミルトニアン還元を用いて統一することにより、量子W代数の有限次元既約表現の数に対する上界の幾何的、特徴零の証明を提示すること。この上界は、かつて正の特徴の方法で示されたものである。
• 中心的還元された古典的W代数のポアソン・ド・ラームホモロジーが、補数的次数におけるスプリンガー層のコホモロジーに同型であることを示すこと。
• D加群理論とハミルトニアン還元を用いて、表現論的および幾何的不変量を統一すること。

提案手法

• 生成子と関係式による、単純な特徴の付いたコーン上のスプリンガーD加群のホッタ＝カシワラ表現を利用する。
• 著者らの、D加群とハミルトニアン微分を用いた零番目のポアソンホモロジーの特徴付けに関する先行結果を適用する。
• グロテンディーク＝スプリンガー解体とスプリンガー対応を用いて、スプリンガー層のコホモロジーとW代数の不変量を関連付ける。
• 変形量子化とリース代数構成を用いて、量子W代数とその古典的極限を関連付ける。
• ネスト＝ツィガンおよびブリリニスキーの、量子化代数のホッジホモロジーとポアソンホモロジーとの関係に関する結果を適用する。
• スプリンガー解体族の位相的自明性を活用し、一般および特殊なファイバー間のコホモロジー次元を等しくする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的有限W代数の零番目のポアソンホモロジーの構造は何か？
• RQ2 量子W代数の零番目のホッジホモロジーは、スプリンガー層の幾何とどのように関係するか？
• RQ3 スプリンガー層の幾何的不変量を用いて、量子W代数の有限次元既約表現の数を上界で抑えられるか？
• RQ4 中心的還元された古典的W代数のポアソン・ド・ラームホモロジーとスプリンガー層のコホモロジーとの関係は何か？
• RQ5 W代数のホモロジー的不変量は、中心的還元と変形量子化の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意の中心的文字で割った古典的有限W代数の零番目のポアソンホモロジーは、対応するスプリンガー層の上位コホモロジー群に同型である。
• 任意の中心的文字で割った量子W代数の零番目のホッジホモロジーは、同じスプリンガー層の上位コホモロジー群に同型である。
• 固定された中心的文字を持つ量子W代数の有限次元既約表現の数は、スプリンガー層の上位コホモロジー群の次元によって上界で抑えられる。
• 中心的還元された古典的W代数のポアソン・ド・ラームホモロジーは、補数的次数におけるスプリンガー層のコホモロジーに同型である。
• 一般の中心的文字の下では、量子W代数のホッジホモロジーは、変形パラメータの形式的べき級数環とテンソル積を取った古典的W代数のポアソンホモロジーに同型である。
• 中心的還元の族全体を通じて、スプリンガー層のコホモロジーの次元は一定であり、一般の変形におけるホモロジー的不変量の不変性を示唆する。