[論文レビュー] Tractable Subcones and LP-based Algorithms for Testing Copositivity

Akihiro Tanaka, Akiko Yoshise|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 37被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、半定値基底（SD基底）を用いて、コポジティブコーンのより大きな部分錐を2つ新たに導入し、変数と制約がそれぞれO(n²)である線形計画法（LP）を用いたコポジティブ性のテストを可能にした。提案された部分錐は望ましい計算可能性の性質を保ち、数値的性能が向上しており、実用的なコポジティブ性検出に有望である。

ABSTRACT

The authors in a previous paper devised certain subcones of the copositive cone and showed that one can detect whether a given matrix belongs to each of them by solving linear optimization problems (LPs) with O(n) variables and O(n 2 ) constraints. They also devised LP-based algorithms for testing copositivity using the subcones. In this paper, they investigate the properties of the subcones in more detail and explore better subcones of the copositive cone having desirable properties.They introduce a semidenite basis (SD basis) that is a basis of the space of n n symmetric matrices consisting of n(n + 1)=2 symmetric semidefinite matrices. Using the SD basis, they devise two new subcones for which detection can be done by solving LPs with O(n 2 ) variables and O(n 2 ) constraints. The new subcones are larger than the ones in the previous paper and inherit their nice properties. The authors also examine the efficiency of those subcones in numerical experiments. The results show that the subcones are promising for testing copositivity.

研究の動機と目的

• 線形計画法（LP）を用いたテストが可能な性質を保ちつつ、より大きく計算可能性の高いコポジティブコーンの部分錐を構築すること。
• 従来の部分錐を改善し、コポジティブコーンのカバー範囲を広げつつ計算効率を維持すること。
• 新しい部分錐を構築するための構造的ツールとして、半定値基底（SD基底）を導入すること。
• 新しい部分錐の数値的効率性および実用的妥当性を、行列のコポジティブ性のテストにおいて評価すること。

提案手法

• n×n対称行列の空間を張るn(n+1)/2個の対称半定値行列からなる半定値基底（SD基底）を構築すること。
• SD基底を用いて、従来の研究よりも大きなコポジティブコーンの2つの新しい部分錐を定義すること。
• 新しい部分錐への属性をテストするためのLPベースのアルゴリズムを設計し、変数と制約がそれぞれO(n²)となるようにすること。
• SD基底の構造を活用して、部分錐への属性検出を線形最適化問題として定式化すること。
• 新しい部分錐が、従来の部分錐が持つ望ましい計算可能性および閉包性の性質を引き継ぐようにすること。
• 数値実験を実施し、新しい部分錐と従来のアプローチとの間で性能およびカバー範囲を比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形計画法（LP）による計算可能性を保ちつつ、コポジティブコーンのより大きく包括的な部分錐を構築することは可能か？
• RQ2 半定値基底（SD基底）の使用が、コポジティブコーンのカバー範囲を広げたより優れた部分錐の構築をどのように可能にするか？
• RQ3 新しい部分錐への属性検出の計算複雑度は何か？また、行列サイズnに従ってどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 新しい部分錐は、従来に提案された部分錐と比較して、数値的性能およびカバー範囲で優れているか？
• RQ5 新しい部分錐は、実世界のコポジティブ性検出において実用的に効率的に実装可能か？

主な発見

• 提案された部分錐は、著者らの前回の研究で導入されたものよりも厳密に大きく、コポジティブコーンのカバー範囲が向上している。
• 新しい部分錐への属性は、変数と制約がそれぞれO(n²)である線形計画法（LP）を用いてテスト可能であり、計算の取り扱いやすさが保たれている。
• 新しい部分錐は、従来の部分錐が持つ望ましい性質（非負スケーリングの下での閉包性、特定の変換下でのコポジティブ性の保存）を引き継いでいる。
• 数値実験により、新しい部分錐がコポジティブ性のテストにおいて効果的かつ効率的であることが確認され、実用的有望であることが示された。
• 半定値基底（SD基底）の使用により、理論的および計算的性質が向上した部分錐の体系的かつ構造的な構築が可能になった。