[論文レビュー] Trading inference effort versus size in CNF Knowledge Compilation

Matthew Gwynne, Oliver Kullmann|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、推論効率と表現サイズのトレードオフを体系的に行うために、CNF知識コンパイル形式の階層 $π_k$, $π_k^c$, および $π_k^w$ を導入する。各 $k$ に対して、$π_{k+1}$ では多項式サイズの表現が可能であるが $π_k$ では指数的サイズを要するブール関数が存在することを証明し、各レベル間の厳密な分離を確立するとともに、階層的知識コンパイルの表現力に関する予想を前進させる。

ABSTRACT

Knowledge Compilation (KC) studies compilation of boolean functions f into some formalism F, which allows to answer all queries of a certain kind in polynomial time. Due to its relevance for SAT solving, we concentrate on the query type "clausal entailment" (CE), i.e., whether a clause C follows from f or not, and we consider subclasses of CNF, i.e., clause-sets F with special properties. In this report we do not allow auxiliary variables (except of the Outlook), and thus F needs to be equivalent to f. We consider the hierarchies UC_k <= WC_k, which were introduced by the authors in 2012. Each level allows CE queries. The first two levels are well-known classes for KC. Namely UC_0 = WC_0 is the same as PI as studied in KC, that is, f is represented by the set of all prime implicates, while UC_1 = WC_1 is the same as UC, the class of unit-refutation complete clause-sets introduced by del Val 1994. We show that for each k there are (sequences of) boolean functions with polysize representations in UC_{k+1}, but with an exponential lower bound on representations in WC_k. Such a separation was previously only know for k=0. We also consider PC < UC, the class of propagation-complete clause-sets. We show that there are (sequences of) boolean functions with polysize representations in UC, while there is an exponential lower bound for representations in PC. These separations are steps towards a general conjecture determining the representation power of the hierarchies PC_k < UC_k <= WC_k. The strong form of this conjecture also allows auxiliary variables, as discussed in depth in the Outlook.

研究の動機と目的

• CNFに基づく知識コンパイル形式の階層を形式化・分析し、効率的な句含意（CE）クエリを可能にする。
• 知識コンパイルにおいて、より表現力の高い形式からより表現力の低い形式にコンパイルする際の最悪ケースのサイズ爆発という未解決の問題を解消する。
• 各レベルが直前のレベルよりも厳密に表現力が大きいことを示し、厳密なサイズ制約下でも成り立つことを証明する。
• 補助変数が知識コンパイルにおける役割を調査し、変数の量化にあたって絶対的条件と相対的条件の違いを明確にする。
• SATソルバーや自動推論システムへの階層的CNF形式の利用の理論的基盤を強化する。

提案手法

• CNF節集合の部分クラスとして、各レベルが句含意（CE）クエリを多項式時間で処理できるようにする、形式的階層 $π_k$, $π_k^c$, および $π_k^w$ を導入する。
• ドーピングされた節集合と極端な木構造を用いて、最小前提集合と不充足性の性質を制御したブール関数を構築する。
• トラiggersハイパーグラフと全最小前提集合を用いて、ユニットプロパゲーションおよび解消法の下での節集合の難易度を分析する。
• 最小不充足性とプロパゲーション完全性の証明技法を応用し、低レベルのクラスにおける表現サイズに対する指数的下界を導出する。
• 絶対的条件（全式で補助変数を許可）と相対的条件（元の変数のみに注目）の2条件の下で形式的表現を比較する。
• 既知のDNNFおよびTseitin変換の結果を活用し、存在記号付きの $π_k[∃]$ および $π_k[∃]$ クラスの表現力を文脈づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CNF知識コンパイルの $π_k$ 階層において、連続するレベルの表現力の正式な分離は可能か？
• RQ2 $π_{k+1}$ から $π_k$ へのブール関数のコンパイルにおいて、最悪ケースのサイズ爆発はどの程度か？
• RQ3 補助変数は、絶対的条件と相対的条件の下で、CNF表現のサイズと推論効率にどのように影響するか？
• RQ4 $k \geq 1$ に対して、$π_k$ では多項式サイズの表現が可能だが $π_{k-1}$ では指数的サイズを要するブール関数は存在するか？
• RQ5 $π_k$ のクラスは、特に存在記号付きの文脈で、DNNF などの既知の知識コンパイル言語をシミュレートまたは捉えることができるか？

主な発見

• 各 $k \in \mathbb{N}_0$ に対して、$\mathcal{UC}_{k+1}$ では多項式サイズの表現が可能であるが $\mathcal{WC}_k$ では指数的サイズを要するブール関数の列が存在する。
• 本稿は $\mathcal{UC}_{k+1}$ と $\mathcal{WC}_k$ の間で厳密な分離を確立し、以前は $k=0$ の場合にのみ知られていた分離を一般化している。
• 多項式サイズの表現が可能であるが $\mathcal{PC}$ では指数的サイズを要するブール関数が存在し、これにより先行研究が強化されている。
• $\mathcal{PC}$ は、両者とも多項式時間での句含意をサポートするが、表現サイズの観点から $\mathcal{UC}$ よりも厳密に小さい。
• 絶対的条件（補助変数を全式で許可）の下では、$\mathcal{UC}[∃]$ および $\mathcal{UC}_k[∃]$ は、VA, IM, EQ, SE などのクエリについて、$\mathcal{UC}_k$ とは異なり多項式時間決定性を保たない。
• 相対的条件では $\exists\mathcal{UC}$ を $\exists\mathcal{PC}$ に変換可能であるが、これはすべてのクラスに拡張されないため、閉包性質における構造的差異が浮き彫りになる。