[論文レビュー] Trading T gates for dirty qubits in state preparation and unitary synthesis

Guang Hao Low, Vadym Kliuchnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、任意の量子状態およびユニタリの合成において、Tゲートと汚れ付きアーキテクチャクビット（dirty ancillary qubits）のトレードオフを実現する量子アルゴリズムを提示している。Tゲートコストを $ \Theta(N/\lambda + \lambda \log^2(N/\epsilon)) $ に低減することで、従来のアーキテクチャクビットフリーな手法に比べ、最良の場合で2乗の改善効果を達成し、対数要因を除いて最適性が保証されている。

ABSTRACT

Efficient synthesis of arbitrary quantum states and unitaries from a universal fault-tolerant gate-set e.g. Clifford+T is a key subroutine in quantum computation. As large quantum algorithms feature many qubits that encode coherent quantum information but remain idle for parts of the computation, these should be used if it minimizes overall gate counts, especially that of the expensive T-gates. We present a quantum algorithm for preparing any dimension-$N$ pure quantum state specified by a list of $N$ classical numbers, that realizes a trade-off between space and T-gates. Our scheme uses $\mathcal{O}(\log{(N/ε)})$ clean qubits and a tunable number of $\sim(λ\log{(\frac{\log{N}}ε)})$ dirty qubits, to reduce the T-gate cost to $\mathcal{O}(\frac{N}λ+λ\log{\frac{N}ε}\log{\frac{\log{N}}ε})$. This trade-off is optimal up to logarithmic factors, proven through an unconditional gate counting lower bound, and is, in the best case, a quadratic improvement in T-count over prior ancillary-free approaches. We prove similar statements for unitary synthesis by reduction to state preparation. Underlying our constructions is a T-efficient circuit implementation of a quantum oracle for arbitrary classical data.

研究の動機と目的

• 故障耐性量子計算における主要コスト要因であるTゲート数を、量子状態準備およびユニタリ合成において最小化すること。
• クリーンなアーキテクチャクビットを必要とせず、初期状態が混合状態または未知状態である汚れ付きアーキテクチャクビットを、調整可能な数だけ利用すること。
• Tゲート数とアーキテクチャクビット使用量の間のトレードオフが、対数要因を除いて最適であることを確立すること。
• ユニタリ合成への応用を、ユニタリの各列の状態準備に還元することで拡張し、Tゲート数を低く保つこと。
• 提案されたトレードオフの最適性を、無条件のゲート数下界によって確認すること。

提案手法

• 制御位相回転を介した状態準備の階層的分解を用い、各回転はフーリエ状態と制御加算回路により実装される。
• 目標位相 $ a_x / 2^b $ を、誤差 $ \epsilon $ で準備されたフーリエ状態 $ |\mathcal{F}\rangle $ を用いて近似することで、直接Tゲートを多く要する位相回転の必要性を低減する。
• 制御加算回路は $ \mathcal{O}(b) $ 個のTゲートで実装され、フーリエ状態とエンタングルメントすることで位相回転 $ e^{i2\pi x / 2^b} $ を適用する。
• 総誤差は $ \delta \leq \frac{2\pi n}{2^b} + \epsilon $ で抑えられ、$ b = \Theta(\log(N/\delta)) $ とすることで近似誤差を精密に制御できる。
• Tゲートコストは $ \mathcal{O}(N/\lambda + \lambda \log^2(N/\epsilon)) $ に分解され、ここで $ \lambda $ は使用する汚れ付きクビット数を制御するパrameterである。
• ユニタリ合成への応用は、問題をユニタリの各列の状態準備に還元することで拡張され、Tゲート数のトレードオフが維持される。

Figure 1: (a) Example Select operator $\sum_{x=0}^{N-1}|x\rangle\langle x|\otimes X^{a_{x}}$ with $N=4$ . The symbol $\oslash$ indicates control by a number state. A naive decomposition of all multiply-controlled- Not s requires $\mathcal{O}(N\log{N})$ Clifford+ T gates and only one dirty qubit Bare

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリーンなアーキテクチャクビットの代わりに汚れ付きアーキテクチャクビットを用いることで、任意の量子状態準備におけるTゲート数を低減できるか？
• RQ2 状態およびユニタリ合成において、Tゲート数とアーキテクチャクビット（汚れ付きを含む）の使用量との間の最適なトレードオフは何か？
• RQ3 提案されたTゲート数のトレードオフは、対数要因を除いて最適であり、無条件の下界によって証明可能か？
• RQ4 フーリエ状態と制御加算回路を用いる手法と、直接位相回転を実装する手法とを比較した場合、Tコストにどのような差が生じるか？
• RQ5 同じトレードオフをユニタリ合成に拡張できるか？その場合のTゲート数のスケーリングはどのようになるか？

主な発見

• 提案手法は、$ \lambda $ 個の汚れ付きクビットを用いて、N次元の量子状態を準備する際、Tゲートコストを $ \mathcal{O}(N/\lambda + \lambda \log^2(N/\epsilon)) $ に抑えることができる。
• 最良の場合、アーキテクチャクビットフリーな手法に比べ、Tゲート数に2乗の改善効果が得られ、$ \lambda = \mathcal{O}(\sqrt{N}) $ のとき、Tゲート数は $ \mathcal{O}(N \log(N/\epsilon)) $ から $ \tilde{\mathcal{O}}(\sqrt{N}) $ にまで低減される。
• Tゲート数とアーキテクチャクビット使用量のトレードオフは、無条件のゲート数下界を用いて、対数要因を除いて最適であることが証明された。
• $ N \times N $ 行列のユニタリ合成で、K個の完全に指定された列を持つ場合、Tコストは $ \mathcal{O}(KN/\lambda + \lambda K \log^2(N/\epsilon)) $ にスケーリングされ、同じトレードオフが維持される。
• フーリエ状態と制御加算回路の使用により、直接Tゲートを多く要する位相回転の必要性が低減され、誤差 $ \delta \leq \frac{2\pi n}{2^b} + \epsilon $ を伴う効率的な近似が可能になる。
• $ \lambda = \mathcal{O}(\sqrt{N}) $ のとき、$ |\textsc{T}\rangle $ 魔法状態の準備コストを考慮しても、ナチュラルなアーキテクチャクビット使用法を上回る性能を発揮する。

Figure 2: T gate count dependence on number of dirty qubits exploited for approximating an arbitrary quantum state of dimension $N=10^{\{2,4,6,8\}}$ to error $10^{-3}$ using our algorithm (dots) in comparison with the standard ancillary-free approach (dashed) Shende et al. ( 2006 ) . Note that at th