[論文レビュー] Transcendental Morse Inequality and Generalized Okounkov Bodies

Ya Deng|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンパクト・カーラー多様体上の擬効型 (1,1)-類に対して正の電流を用いて一般化されたオクヌーフ体を導入し、代数的類を超えた古典的オクヌーフ体構成を拡張する。特に、カーラー面上のビッグ類における体積関数の微分可能性を証明し、ビッグ類の体積がその一般化されたオクヌーフ体のユークリッド体積に等しいことを確立し、ラザルスフェルトが表面に対して提起した問題を解決する。

ABSTRACT

The main goal of this article is to construct "arithmetic Okounkov bodies" for an arbitrary pseudo-effective (1,1)-class $α$ on a Kähler manifold. Firstly, using Boucksom's divisorial Zariski decompositions for pseudo-effective (1,1)-classes on compact Kähler manifolds, we prove the differentiability of volumes of big classes for Kähler manifolds on which modified nef cones and nef cones coincide; this includes Kähler surfaces. We then apply our differentiability results to prove Demailly's transcendental Morse inequality for these particular classes of Kähler manifolds. In the second part, we construct the convex body $Δ(α)$ for any big class $α$ with respect to a fixed flag by using positive currents, and prove that this newly defined convex body coincides with the Okounkov body when $α\in { m NS}\_{\mathbb{R}}(X)$; such convex sets $Δ(α)$ will be called generalized Okounkov bodies. As an application we prove that any rational point in the interior of Okounkov bodies is "valuative". Next we give a complete characterisation of generalized Okounkov bodies on surfaces, and show that the generalized Okounkov bodies behave very similarly to original Okounkov bodies. By the differentiability formula, we can relate the standard Euclidean volume of $Δ(α)$ in $\mathbb{R}^2$ to the volume of a big class $α$, as defined by Boucksom; this solves a problem raised by Lazarsfeld in the case of surfaces. Finally, we study the behavior of the generalized Okounkov bodies on the boundary of the big cone, which are characterized by numerical dimension.

研究の動機と目的

• コンパクト・カーラー多様体上の任意の擬効型 (1,1)-類に対して、算術的オクヌーフ体を構成すること。
• 古典的オクヌーフ体構成を代数的類を超えて、超越的コホモロジー類へと拡張すること。
• 修正ネフ錐とネフ錐が一致するカーラー多様体におけるビッグ類の体積関数の微分可能性を証明すること。
• 表面におけるビッグ類の体積とその一般化されたオクヌーフ体のユークリッド体積との正確な対応関係を確立すること。
• 表面における一般化されたオクヌーフ体を特徴づけ、それらが古典的ものと同様に振る舞うことを示すこと（多角形構造および頂点数の有界性を含む）。

提案手法

• コンパクト・カーラー多様体上の擬効型 (1,1)-類のためのブークソムの除法的ザリスキ分解を用い、ビッグ類の構造を分析する。
• シウ分解およびレロン数を用いて、正の電流を用いた価値関数に類似した関数を定義する。
• クラス α の倍数の断面の正規化された価値ベクトルの閉じた凸包として、一般化されたオクヌーフ体 Δ(α) を構成する。
• カーラー電流を用いた摂動論法を用い、ε→0 の極限における Δ(α+εω) の分析を通じて Δ(α) を定義する。
• 微分可能性の公式を用いて、Δ(α) の標準的ユークリッド体積と、ブークソムが定義したビッグ類 α の体積とを関連付ける。
• 表面における Δ(α) の形状を、α の数的次元に応じて、凸関数 f と凹関数 g のグラフによって囲まれた領域として特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の電流を用いて、コンパクト・カーラー多様体上の任意の擬効型 (1,1)-類に対して一般化されたオクヌーフ体を構成できるか？
• RQ2 カーラー多様体上のビッグ類の体積は、その一般化されたオクヌーフ体のユークリッド体積に等しいか？
• RQ3 一般化されたオクヌーフ体はビッグ錐の境界付近でどのように振る舞うか、特に数的次元と関係してどうなるか？
• RQ4 オクヌーフ体の内部のすべての有理点は価値的か？この性質は超越的類へと拡張可能か？
• RQ5 コンパクト・カーラー表面における一般化されたオクヌーフ体の正確な幾何的構造は何か？

主な発見

• カーラー多様体上のビッグ類 α の体積は、その一般化されたオクヌーフ体 Δ(α) の標準的ユークリッド体積に等しく、ラザルスフェルトが表面の場合に提起した問題を解決する。
• 任意のコンパクト・カーラー表面におけるビッグ類 α に対して、Δ(α) は高々 2ρ(X)+2 個の頂点を持つ有限の多角形である。ここで ρ(X) はピカール数である。
• α がカーラー表面におけるビッグ類であるとき、Δ(α) は凸関数 f と凹関数 g のグラフによって囲まれており、f ≤ g を満たす。
• ビッグ線束 L に対して、オクヌーフ体 Δ(L) の内部の任意の有理点は価値的である。これは、カーヴェフとコファンスキーの結果を超越的設定へと拡張する。
• 表面における数的次元が 0 または 1 のクラスに対して、一般化されたオクヌーフ体 Δ(α) はそれぞれ、1点または線分である。これは、ザリスキ分解の負部分を曲線に制限することで決定される。
• 修正ネフ錐とネフ錐が一致するカーラー多様体では、ビッグ類の体積関数の微分可能性が成り立ち、これによりこの設定においてデメールリの超越的モース不等式の証明が可能になる。