[論文レビュー] Weak transcendental holomorphic Morse inequalities on compact Kähler manifolds

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカーラー多様体における超越的ホロモルフィックモース不等式に関するデメールィの予想の弱い形を証明している。具体的には、2つのネフなコhomology類 $\{\alpha\}, \{\beta\}$ が $\{\alpha\}^n - 4n\{\alpha\}^{n-1} \cdot \{\beta\} > 0$ を満たすならば、$\{\alpha - \beta\}$ は大きなクラス、つまりケーラー・カレントを含むことを示している。この結果は、有理的かつ射影的であるという仮定を排除し、超越的クラスにまで一般化され、体積成長に関する以前の境界を拡張している。

ABSTRACT

Transcendental holomorphic Morse inequalities aim at characterizing the positivity of transcendental cohomology classes of type $(1,1)$. In this paper, we prove a weak version of Demailly's conjecture on transcendental Morse inequalities on compact Kähler manifolds. And as a consequence, we partially improve a result of Boucksom-Demailly-Paun-Peternell.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー多様体における超越的ホロモルフィックモース不等式に関するデメールィの予想の弱い形を証明すること。
• 有理的かつ射影的設定を超えて、コhomology類の体積境界に関する以前の結果を拡張すること。
• $\{\alpha\}, \{\beta\}$ が超越的であっても、交差形式の正性条件のもとで $\{\alpha - \beta\}$ がケーラー・カレントを含むことを確立すること。
• 以前の結果における計量的仮定を弱め、結論が成り立つために $\partial\bar{\partial}\omega^k = 0$（$k=1,\dots,n-1$）が十分であることを示すこと。

提案手法

• 体積成長を制御できるように、近似形式 $\alpha_\varepsilon + i\partial\bar{\partial}u_\varepsilon$ を構成するために複素マングェ・アンペール方程式を用いる。
• 極限 $\varepsilon \to 0$ における質量と曲率を制御するため、ポテンシャルに一様な $L^1$ 界を適用する。
• $\partial\bar{\partial}\omega = 0$（または高階の消失）という条件を活用し、摂動下でも体積積分を保存することを保証する。
• 点ごとの不等式と体積比較を用いて、$M_\varepsilon = \int_X (\alpha + \varepsilon\omega + i\partial\bar{\partial}\eta_\varepsilon)^2 \wedge (\beta + \varepsilon\omega + i\partial\bar{\partial}\psi_\varepsilon)$ の正性を確立する。
• 点ごとの不等式 $\frac{(\alpha + \varepsilon\omega + i\partial\bar{\partial}u_\varepsilon)^2 \wedge \omega}{\omega^3} \geq \left(\frac{(\alpha + \varepsilon\omega + i\partial\bar{\partial}u_\varepsilon)^3}{\omega^3}\right)^{2/3}$ を用いて、$\int_X \alpha^2 \wedge \omega$ を下から抑え込む。
• $c_0 = \int_X \alpha^3 > 0$ ならば $\int_X \alpha^2 \wedge \omega > 0$ であることを証明し、これにより十分小さい $\varepsilon$ に対して $M_\varepsilon > 0$ が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有理的・超越的コhomology類をもつコンパクトなカーラー多様体において、弱い超越的モース不等式の予想は証明可能か？
• RQ2 $\{\alpha\}^n - 4n\{\alpha\}^{n-1} \cdot \{\beta\} > 0$ という条件が、$\{\alpha\}, \{\beta\}$ が有理的でない場合でも $\{\alpha - \beta\}$ が大きなクラスであることを示唆するか？
• RQ3 以前の結果における計量的仮定を、すべての $k$ に対して $\partial\bar{\partial}\omega^k = 0$ ではなく、$k=1,\dots,n-1$ にまで弱めることは可能か？あるいは $n$ が小さい場合には $k=1$ にまで弱められるか？
• RQ4 有理的または射影的でない仮定を課さずに、混合体積項 $M_\varepsilon$ の正性を確立することは可能か？

主な発見

• 任意の $n$ 次元のコンパクト複素多様体が、$k=1,\dots,n-1$ に対して $\partial\bar{\partial}\omega^k = 0$ を満たすヘルミート計量を持つとき、$\{\alpha\}^n - 4n\{\alpha\}^{n-1} \cdot \none > 0$ ならば、$\{\alpha - \beta\}$ はケーラー・カレントを含む。
• この結果は、ボックスコム＝デメールィ＝パウン＝ペルティネルの定理1.1を、射影的および有理的仮定を排除することで改善し、超越的クラスへと拡張している。
• $n \leq 3$ の場合、条件 $\partial\bar{\partial}\omega = 0$ が十分であり、これはすべてのコンパクトな複素曲面に成り立ち、それらがカーラー多様体であることを示している。
• 証明により、$c_0 = \int_X \alpha^3 > 0$ のもとで $\int_X \alpha^2 \wedge \omega \geq c'$（$c' > 0$）が成り立つことが示され、$M_\varepsilon > 0$ を保証する上で極めて重要である。
• ポテンシャルに一様な $L^1$ 界が保証され、$c_\varepsilon = \int_X (\alpha + \varepsilon\omega + i\partial\bar{\partial}\eta_\varepsilon)^n$ の極限が $c_0 > 0$ に収束することを可能にし、収束の制御が可能になる。