[論文レビュー] Transfer of Siegel cusp forms of degree 2

Ameya Pitale, Abhishek Saha+1 more|Bristol Research (University of Bristol)|Jun 28, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 76被引用数 30

ひとこと要約

本稿は、積分表現とプルバック公式を用いて、2次全レベルのシーゲル尖隙形式からGL₄およびGL₅への関手的帰着を確立する。標準L関数が整関数であり、標準的な関数等式を満たすことを証明する。主な結果は、GSp₄ × GL₂ L関数に対する逆定理であり、臨界値の公式と、Fourier係数を用いた中心L値に関するBöcherer予想への証拠をもたらす。

ABSTRACT

Let $π$ be the automorphic representation of $\GSp_4(\A)$ generated by a full level cuspidal Siegel eigenform that is not a Saito-Kurokawa lift, and $τ$ be an arbitrary cuspidal, automorphic representation of $\GL_2(\A)$. Using Furusawa's integral representation for $\GSp_4 imes\GL_2$ combined with a pullback formula involving the unitary group $\GU(3,3)$, we prove that the $L$-functions $L(s,π imesτ)$ are "nice". The converse theorem of Cogdell and Piatetski-Shapiro then implies that such representations $π$ have a functorial lifting to a cuspidal representation of $\GL_4(\A)$. Combined with the exterior-square lifting of Kim, this also leads to a functorial lifting of $π$ to a cuspidal representation of $\GL_5(\A)$. As an application, we obtain analytic properties of various $L$-functions related to full level Siegel cusp forms. We also obtain special value results for $\GSp_4 imes\GL_1$ and $\GSp_4 imes\GL_2$.

研究の動機と目的

• 全レベルの2次シーゲル尖隙形式に付随する自動形式的表現をGL₄(𝔸)およびGL₅(𝔸)へ関手的に帰着すること。
• GSp₄上のπおよびGL₂上のτに対して、標準L関数L(s, π × τ)が整関数であり、標準的な関数等式を満たすことを証明すること。
• L(s, π × τ)の明示的な臨界値の公式を、有理数不変量およびFourier係数を用いて導出すること。
• Böchererの予想、特にGSp₄ × GL₂ L関数の中心L値に関する証拠を提供すること。

提案手法

• GSp₄ × GL₂のFurusawaの積分表現を用い、L関数と自動形式的周期を関連付ける。
• ユニタリ群GU(3,3)を介したプルバック公式を適用し、GSp₄ × GL₂積分をGL₄ × GL₂積分に還元する。
• Siegel-Weil公式およびWeil表現を用いて、L関数の整関数性を証明する。
• CogdellとPiatetski-Shapiroの逆定理を用い、L関数の解析的性質から関手的帰着を導出する。
• 近似正則モジュラー形式の理論およびGarrettとHarrisの結果を応用し、特殊値を計算する。
• グローバル積分表現を用いて、特殊値周期の有理数性およびGalois同変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次尖隙Siegel固有形式πとGL₂上の尖隙自動形式的表現τに対して、標準L関数L(s, π × τ)は、meromorphicな拡張と関数等式を持つのか？
• RQ2 CogdellとPiatetski-Shapiroの逆定理を用いて、πがGL₄(𝔸)への関手的帰着を導出できるか？
• RQ3 L(s, π × τ)の臨界点における特殊値の有理数性およびGalois同変性の性質は何か？
• RQ4 L(s, π × τ)の臨界値は、Siegel尖隙形式FのFourier係数とどのように関係するか？
• RQ5 構築された積分表現は、中心L値に関するBöcherer予想への証拠を提供するか？

主な発見

• L関数L(s, π × τ)は整関数であり、標準的な関数等式を満たす。これは、GL₂上のすべての尖隙τに対して「良い性質」を有することを証明する。
• CogdellとPiatetski-Shapiroの逆定理により、πはGL₄(𝔸)上の尖隙表現へ関手的に帰着されることが導かれる。
• Kimの外部平方帰着と組み合わせることで、πはGL₅(𝔸)上の尖隙表現へも関手的に帰着される。
• 特殊値A(F, g; k)はℚ(F, g, χ)上に有理的であり、Galois自己同型に対して不変である。これにより、有理数性およびGalois同変性が証明される。
• L(ℓ/2 − k, π × π_g)の臨界値の公式は、Petersson内積およびFourier係数を用いて表現され、有理数性が確立される。
• 補題5.3.5は、Böcherer予想に対する証拠を提供する。中心L値が異なる二次的ねじれに対して、ℚ(F)の元によって関係づけられることを示している。