[論文レビュー] Translation symmetry restoration under random unitary dynamics

Katja Klobas, Colin Rylands+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2024

Fractal and DNA sequence analysisBiochemistry, Genetics and Molecular Biology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般の量子多体系における時空対称性、特に並進対称性について、観測量に依存しない対称性回復の定式化を拡張する。ランダムなユニタリ回路を用いて、並進対称性の回復が、系の部分系サイズに比例する時間スケールでのみ発生することを示し、大規模な部分系では初期状態に依存しない時間スケールが得られ、中間サイズの系では初期状態の対称性破れ度が大きいほど回復が速くなる量子Mpemba効果が観測される。

ABSTRACT

The finite parts of a large, locally interacting many-body system prepared out-of-equilibrium eventually equilibrate. Characterising the underlying mechanisms of this process and its timescales, however, is particularly hard as it requires to decouple universal features from observable-specific ones. Recently, new insight came by studying how certain symmetries of the dynamics that are broken by the initial state are restored at the level of the reduced state of a given subsystem. This provides a high level, observable-independent probe. Until now this idea has been applied to the restoration of internal symmetries, e.g. U(1) symmetries related to charge conservation. Here we show that that the same logic can be applied to the restoration of space-time symmetries, and hence can be used to characterise the relaxation of fully generic systems. We illustrate this idea by considering the paradigmatic example of "generic" many-body dynamics, i.e. a local random unitary circuit, where our method leads to exact results. We show that the restoration of translation symmetry in these systems only happens on time-scales proportional to the subsystem's volume. In fact, for large enough subsystems the time of symmetry restoration becomes initial-state independent (as long as the latter breaks the symmetry at time zero) and coincides with the thermalisation time. For intermediate subsystems, however, one can observe the so-called "quantum Mpemba effect", where the state of the system restores a symmetry faster if it is initially more asymmetric. We provide the first exact characterisation of this effect in a non-integrable system.

研究の動機と目的

• 内部対称性（例：U(1)）に対する観測量に依存しない対称性回復フレームワークを、並進不変性などの時空対称性へ拡張すること。
• ランダムユニタリダイナミクス下での、一般の局所的相互作用を持つ量子多体系における並進対称性の回復の仕組みを同定すること。
• 空間的対称性の回復において、より対称性が破壊された初期状態ほど回復が速くなるという量子Mpemba効果が出現するかを検証すること。
• ランダムユニタリ回路における、部分系サイズと初期状態の非対称性の程度に依存する対称性回復時間の依存関係を特定すること。

提案手法

• 部分系の縮約密度行列とその並進群による対称化版との間の距離を定義し、対称性破れの度合を定量化する。
• 時間発展演算子とその並進コピーとの差のフロベニウスノルムを用いて、対称性回復ダイナミクスを追跡する。
• 局所的ハール一様ランダムユニタリを用いたランダムユニタリ回路を適用し、内部対称性を欠くが平均的には空間並進不変性を保つ系を構築する。
• 周期νを持つスピンヘリックスなどの、明示的に並進対称性を破る初期状態を構築し、初期非対称性の影響を調べる。
• 回転対称性を示すスピンヘリックスアンザッツを活用し、ずらされた密度行列を含むトレース表現を用いて、対称性破れ距離の時間発展演算を計算する。
• 部分系サイズℓと局所ヒルベルト空間次元qに応じた回復時間のスケーリングを解析し、適切なスケーリングの下で曲線が収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測量に依存しない対称性回復フレームワークは、一般の量子系における空間的対称性（例：並進不変性）にも適用可能か？
• RQ2 ランダムユニタリ回路における並進対称性回復の時間スケールは何か？ また、部分系サイズにどのように依存するか？
• RQ3 空間的対称性破れの文脈において、より対称性が破壊された初期状態ほど回復が速くなるという量子Mpemba効果が現れるか？
• RQ4 局所ヒルベルト空間次元qは、並進対称性回復のダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 大規模部分系では対称性回復時間が初期状態に依存せず、熱化時間と一致するか？

主な発見

• 大規模部分系では、ε-近似並進対称性回復に要する時間が部分系サイズℓに比例し、初期状態に依存しなくなる。ただし、初期状態が対称性を破っている限り有効である。
• 大規模部分系では、対称性回復時間が熱化時間と一致しており、初期状態の記憶が熱化スケールに達するまで消去されないことが示唆される。
• 中間サイズの部分系では、量子Mpemba効果が観測される：初期状態の並進対称性破れ度が大きいほど、対称性回復が速くなる。
• ν/(ν−1)でスケーリングした際に、対称性回復ダイナミクスが一意の普遍的曲線に収束する。これは、初期対称性破れの程度（ν）が効果をスケーリングするだけで、現象的性質に変化をもたらさないことを示している。
• 局所ヒルベルト空間次元qが増加するにつれ、対称性回復はt=ℓ/2でヘヴィサイドのステップ関数に近づき、qが大きい極限ではより速く鋭くなる。
• 対称性破れ距離の最大値は(ν−1)/νであり、これはt=0ですべてのずらされた状態が元の状態と直交するときに達成される。これは初期状態の構造が回復ダイナミクスを決定づける役割を果たすことを確認する。