[論文レビュー] Translational invariance and the space-time Lorentz transformation with arbitrary spatial coordinates

J. H. Field|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、特殊相対性理論のローレンツ変換の従来の解釈が、空間座標系の不一致による原因で余分な効果——長さの収縮と同時性の相対性——を生じさせると主張している。一貫した座標原点を用いることで並進不変性を保つことにより、著者は物理的に有効なのは時間の遅れだけであり、見かけ上の長さの収縮や同時性効果は物理的現実ではなく、座標の不一致に起因することを示している。

ABSTRACT

Translational invariance requires that physical predictions are independent of the choice of spatial coordinate system used. The time dilatation effect of special relativity is shown to manifestly respect this invariance. Consideration of the space-time Lorentz transformation with arbitrary spatial coordinates shows that the spurious `length contraction' and `relativity of simultaneity' effects --the latter violating translational invariance-- result from the use of a different spatial coordinate system to describe each of two spatially separated clocks at rest in a common inertial frame

研究の動機と目的

• 空間の均一性、すなわち並進不変性が物理的予測が空間座標系の選択に依存しないことを要求することを示すこと。
• 標準的な特殊相対性理論の解釈における余分な「長さの収縮」と「同時性の相対性」効果の根本的原因を特定すること。
• これらの効果が、同じ慣性系内での異なる時計に異なる空間座標原点を使用することに起因することを示すこと。
• 長さの収縮や同時性のずれではなく、時間の遅れのみが並進不変性と物理的に整合することを証明すること。
• 一貫した座標系を維持することで並進不変性を保つ修正されたローレンツ変換の解釈を提案すること。

提案手法

• 標準形を一般化するために、任意の空間座標原点を用いたローレンツ変換を導出する。$ x'(t) = \gamma[x(t) - x(0) - vt] $ を用いる。
• 時間変換 $ t'(t) = \gamma[t - v(x(t) - x(0))/c^2] $ を適用し、$ x(t) = x(0) + vt $ のとき $ t = \gamma t' $ に簡略化され、時間の遅れが得られることを示す。
• S'で静止する二つの時計を、$ x_1'(0) = 0 $、$ x_2'(0) = L' $ とし、不一致を避けるために一貫した座標系を用いて分析する。
• 一つの時計に対して $ x(0) = 0 $、別の時計に対して $ x(0) = L'/\gamma $ を仮定すると、$ L' = \gamma L $ という不一致な結果が生じ、誤って長さの収縮を示唆することを示す。
• $ x-t $ 空間における世界線のパラメトリック表現を用い、座標系が一貫している場合、S'で同時であるイベントはSでも同時に残ることを示す。
• 不一致なケース（$ L' = \gamma L $ を導く）と一貫したケース（$ L = L' $ を導く）を比較し、前者が数学的に無効であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の空間座標原点を用いた標準的なローレンツ変換は、並進不変性を保っているか？
• RQ2 特殊相対性理論における見かけ上の「長さの収縮」の原因は何であり、それは物理的効果か、座標の誤りによるものか？
• RQ3 「同時性の相対性」は物理的現実の効果か、それとも不一致な座標系の使用の結果か？
• RQ4 時間の遅れは空間座標に依存せずに独立に導出可能か？ そして並進不変性を満たしているか？
• RQ5 すべての物体に一貫した座標系を用いる場合、ローレンツ変換はどのように変化するか？

主な発見

• 時間の遅れの式 $ t = \gamma t' $ は空間座標に依存せず、明示的に並進不変性を満たしている。
• 見かけ上の「長さの収縮」効果 $ L' = \gamma L $ は、異なる時計に異なる座標系が使われる場合にのみ生じ、並進不変性に違反する。
• 一貫した座標系が使われると、S'で静止している二つの時計間の空間的距離は $ L = L' $ のまま維持され、長さの収縮は消える。
• 座標原点の不一致が原因で生じる「同時性の相対性」効果は、一貫したフレームでは $ t'_1(t) = t'_2(t) $ となるため、同時に保たれる。
• $ x_2'(0) = \gamma[x_2(0) - vt] $ から $ L' = \gamma L $ を導くのは誤りであり、これは $ x_2(0) = 0 $ と $ x_2'(0) = L' $ を同時に仮定しているため、座標原点の一貫性に違反している。
• $ v \to 0 $ の極限において、一貫した変換は $ L = L' $ を得る。これは「長さの収縮」効果が不一致な座標使用に起因するアーティファクトであることを確認する。