[論文レビュー] Transport information geometry I: Riemannian calculus on probability simplex

Wuchen Li|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 31被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、線形加重ラプラシアン作用素から導かれる非線形計量テンソルを有する正測度空間への埋め込みを通じて、$L^2$-ウォッサーシュタイン計量を用いて確率単体上でのリーマン計算を確立する。主な貢献は、 torsion-free なクリストッフェル記号、レヴィチビタ接続、曲率テンソル、体積形式、ラプラス＝ベルトラミおよびヘッシアン作用素の明示的導出であり、フィッシャー＝ラオ計量とウォッサーシュタイン計量の間の新規な接続がバクリ＝エメリー $\Gamma_2$ 作用素を通じて示される。

ABSTRACT

We formulate the Riemannian calculus of the probability set embedded with $L^2$-Wasserstein metric. This is an initial work of transport information geometry. Our investigation starts with the probability simplex (probability manifold) supported on vertices of a finite graph. The main idea is to embed the probability manifold as a submanifold of the positive measure space with a nonlinear metric tensor. Here the nonlinearity comes from the linear weighted Laplacian operator. By this viewpoint, we establish torsion-free Christoffel symbols, Levi-Civita connections, curvature tensors and volume forms in the probability manifold by Euclidean coordinates. As a consequence, the Jacobi equation, Laplace-Beltrami and Hessian operators on the probability manifold are derived. These geometric computations are also provided in the infinite-dimensional density space (density manifold) supported on a finite-dimensional manifold. In particular, an identity is given connecting the Baker-{É}mery $Γ_2$ operator (carr{é} du champ it{é}r{é}) by connecting Fisher-Rao information metric and optimal transport metric. Several examples are demonstrated.

研究の動機と目的

• 確率単体に $L^2$-ウォッサーシュタイン計量を備えたリーマン計算を定式化し、密度多様体におけるクリストッフェル記号、ラプラス作用素、体積形式に関する未解決問題に取り組む。
• 有限グラフ上の幾何的構造を、有限次元リーマン多様体上に定義された無限次元密度多様体へと拡張する。
• バクリ＝エメリー $\Gamma_2$ 作用素を通じて、フィッシャー＝ラオ情報計量と最適輸送計量の間の標準的接続を確立する。
• ヘッシアン作用素、ラプラス＝ベルトラミ作用素、ヤコビ方程式などの幾何的対象に対する明示的公式を提供する。
• ヴィラニの書籍のオープンプロブレム15.11を解決し、密度多様体上での関数型のヘッシアンに対する閉形式の表現を導出する。

提案手法

• 線形加重ラプラシアン作用素から導かれる非線形リーマン計量テンソルを有する正測度空間に、確率多様体を部分多様体として埋め込む。
• ユークリッド座標とラプラシアンによって定義された計量テンソルを用いて、確率単体上での torsion-free なクリストッフェル記号およびレヴィチビタ接続を導出する。
• 正測度空間の内面的幾何を活用して、曲率テンソル、体積形式、ラプラス＝ベルトラミ作用素を構築する。
• 有限次元多様体上に定義された無限次元密度多様体へと導出を拡張し、類似した幾何的構成を用いる。
• フィッシャー＝ラオ計量とウォッサーシュタイン計量の関係を活用して、密度多様体上の計量テンソルを用いてバクリ＝エメリー $\Gamma_2$ 作用素を導出する。
• 確率多様体上でのドリフト・ディフュージョン確率過程を導出し、その定常分布がギブス測度であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度多様体に $L^2$-ウォッサーシュタイン計量を備えた場合、クリストッフェル記号、ラプラス＝ベルトラミ作用素、体積形式、発散作用素は厳密に定義可能か？
• RQ2 フィッシャー＝ラオ計量とウォッサーシュタイン計量の間に、バクリ＝エメリー $\Gamma_2$ 作用素に関連する幾何的接続が存在するか？
• RQ3 関数型のヘッシアン作用素が $L^2$-ウォッサーシュタイン計量の下で密度多様体上にどのように明示的に表現されるか？
• RQ4 非線形計量テンソルを有する正測度空間における計量構造から、有限グラフ上の確率単体のリーマン構造をどのように導出できるか？
• RQ5 ウォッサーシュタイン計量の下での勾配フローに対応する確率多様体上の確率過程は何か？その定常分布は何か？

主な発見

• 正測度空間に埋め込まれた確率多様体が $L^2$-ウォッサーシュタイン計量を備える場合、torsion-free なレヴィチビタ接続を有し、線形加重ラプラシアン作用素から導かれる明示的クリストッフェル記号が得られる。
• 離散的確率多様体上の体積形式が明示的に構成され、正の象限の幾何と整合的であることが示される。
• 計量テンソルと曲率構造を用いて、確率多様体上でのラプラス＝ベルトラミ作用素とヘッシアン作用素が導出され、多様体上の関数型を分析するための道具が提供される。
• 密度多様体上での関数型のヘッシアンに対する閉形式の表現が導出され、ヴィラニの書籍のオープンプロブレム15.11が解決される。
• ウォッサーシュタイン計量の下での確率多様体上でのドリフト・ディフュージョン過程は、その定常分布が $\mathbb{P}^*(\rho) = \frac{1}{K}e^{-\mathcal{F}(\rho)/\beta}$ で与えられる確率的微分方程式を満たすことが示される。
• バクリ＝エメリー $\Gamma_2$ 作用素とフィッシャー＝ラオ計量およびウォッサーシュタイン計量の組み合わせを結ぶ新規な恒等式が確立され、情報幾何と最適輸送の間の深い幾何的関係が明らかになる。