[論文レビュー] Transposes, L-Eigenvalues and Invariants of Third Order Tensors

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第3順序テンソルを第1および第2順序テンソル間の線形作用素としてモデル化することにより、テンソルの転置、核テンソル、L固有値、L逆数といった新たな概念を定義する体系的な枠組みを提案する。主な貢献は、L固有値、特異値、その他のスペクトル不変量がすべてテンソル不変量であることを確立し、圧電テンソルやリーヴィチビータテンソルといった基本的テンソルへの応用、および第3順序対称テンソルが7つの独立不変量を持つという予想を提示する。

ABSTRACT

Third order tensors have wide applications in mechanics, physics and engineering. The most famous and useful third order tensor is the piezoelectric tensor, which plays a key role in the piezoelectric effect, first discovered by Curie brothers. On the other hand, the Levi-Civita tensor is famous in tensor calculus. In this paper, we study third order tensors and (third order) hypermatrices systematically, by regarding a third order tensor as a linear operator which transforms a second order tensor into a first order tensor, or a first order tensor into a second order tensor. For a third order tensor, we define its transpose, kernel tensor and L-eigenvalues. Here, "L" is named after Levi-Civita. The transpose of a third order tensor is uniquely defined. In particular, the transpose of the piezoelectric tensor is the inverse piezoelectric tensor (the electrostriction tensor). The kernel tensor of a third order tensor is a second order positive semi-definite symmetric tensor, which is the product of that third order tensor and its transpose. We define L-eigenvalues, singular values, C-eigenvalues and Z-eigenvalues for a third order tensor. They are all invariants of that third order tensor. For a third order partially symmetric tensor, we give its eigenvector decomposition. The piezoelectric tensor, the inverse piezoelectric tensor, and third order symmetric tensors are third order partially symmetric tensors. We make a conjecture a third order symmetric tensor has seven independent invariants. We raise the questions on how may independent invariants a third order tensor, a third order partially symmetric tensor and a third order cyclically symmetric tensor may have respectively.

研究の動機と目的

• 第1および第2順序テンソル間の線形作用素としての第3順序テンソルを扱うことで、第3順序テンソルの体系的理論を構築すること。
• 第3順序テンソルに対して、L固有値、特異値、C固有値といったテンソル不変量のスペクトル量を定義すること。
• 正規直交変換のもとで保存される不変量を導入することで、テンソル的性質とハイパーマトリックス的性質の違いを明確にすること。
• 本フレームワーク内での圧電テンソルやリーヴィチビータテンソルといった重要な物理的テンソルの代数的・幾何的構造を調査すること。
• さまざまなクラスの第3順序テンソルに対して、独立不変量の数に関する未解決の問題を提示すること。

提案手法

• 第3順序テンソルの転置を、変換方向を逆転させる一意的な操作として定義し、3回適用することで元のテンソルが回復することを特徴とする。
• 核テンソルを、第3順序テンソルとその転置の積として定義し、常に正定値または半正定値の対称第2順序テンソルであることを示す。
• 第3順序テンソルのL逆数を、元のテンソルの出力を入力に戻す一意な逆数として定義し、テンソルが非特異である場合にのみ存在することを示す。
• 方程式 $ \mathcal{A} \mathbf{z} = \sigma \mathcal{A}^\top \mathbf{z} $ を用いてL固有値を定義し、$ \sigma $ をL固有値、$ \mathbf{z} $ を関連するベクトルとする。
• L固有値、特異値、C固有値、Z固有値がすべて正規直交変換のもとで不変であることを確立する。
• リーヴィチビータテンソルを標準例として用い、理論を実証する。非特異であり、L固有値が $ \sqrt{2} $、核テンソルが $ 2\mathbf{I} $、逆数が $ \frac{1}{2}\mathcal{E} $ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第3順序テンソルに対して、行列の転置および固有値の正しいテンソル理論的類似物は何か？
• RQ2 第3順序対称テンソルが何個の独立不変量を持ち、それらは何か？
• RQ3 第3順序テンソルのL逆数は一意に定義可能であり、物理的変換において出力から入力を回復するために使用可能か？
• RQ4 右側または左側の対称性といった性質は正規直交変換のもとで保存されるか？ そして、それらは代数的にどのように特徴づけられるか？
• RQ5 対称第3順序テンソルにおいて、Z固有値、L固有値、特異値の関係は何か？

主な発見

• 第3順序テンソルの転置は一意に定義され、$ \mathcal{A}^{\top\top\top} = \mathcal{A} $ を満たし、行列の転置の性質を一般化する。
• 第3順序テンソルの核テンソルは、$ \mathcal{A} \mathcal{A}^\top $ によって形成される正定値または半正定値の対称第2順序テンソルであり、正規直交変換のもとで不変である。
• 第3順序テンソルのL逆数は、テンソルが非特異である場合にのみ存在し、元の変換の出力から入力ベクトルを一意に回復する。
• リーヴィチビータテンソル $ \mathcal{E} $ に対して、L固有値はすべて $ \sqrt{2} $、核テンソルは $ 2\mathbf{I} $、逆数は $ \frac{1}{2}\mathcal{E} $ である。
• 圧電テンソルの逆テンソルは、圧電テンソルのL逆数であり、変換 $ \mathbf{z} = \mathcal{A}^{-1} \mathbf{U} $ により歪みから電場を回復できる。
• 第3順序対称テンソルが3次元で正確に7つの独立不変量を持つという予想を提示し、一般の対称ハイパーマトリックスの7つのE固有値に基づく。