[論文レビュー] Transversality problems in string topology and de Rham chains

Kei Irie|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ストリングトポロジーにおける横断性の問題を解消するために、特異ホモロジーとde Rhamホモロジーを統合するde Rham鎖複体を導入する。このハイブリッドフレームワークを用いてループ空間上に鎖複体を構成することで、摂動を用いずにストリングトポロジー作用素を定義し、長さフィルトレーションと整合性を保ちながら、ストリングトポロジーにおける作用素の厳密で幾何的に自然な定式化を可能にする。

ABSTRACT

We propose a new approach to resolve transversality problems in string topology. For this purpose, we introduce a notion of de Rham chain complex, which is a hybrid of the singular chain complex and the usual de Rham complex. Using this machinery, we define a chain complex of the loop space, on which one can define string topology operations without any perturbations. All operations are defined so that they respect the length filtration on the loop space.

研究の動機と目的

• ストリングトポロジーにおける持続的な横断性の問題が、チェーンレベルでの作用素の定義を妨げることを是正すること。
• ループ空間に対して特異鎖とde Rham鎖を統合する包括的なホモロジー枠組みを構築すること。
• 摂動技術に依存せずにストリングトポロジー作用素を内因的に定義すること。
• すべての作用素がループ空間上の自然な長さフィルトレーションを尊重することを保証すること。
• ストリングトポロジー作用素の幾何的に意味のある、コホモロジー的構造を持つチェーンモデルを提供すること。

提案手法

• 特異鎖と微分形式の間を補間する新しいde Rham鎖複体を導入すること。
• このハイブリッドde Rham鎖複体を用いて、自由ループ空間上に鎖複体を構築すること。
• ループ積やBV作用素などのストリングトポロジー作用素を、摂動なしに鎖複体上で直接定義すること。
• de Rham鎖の幾何的構造を活用することで、すべての作用素が長さフィルトレーションと整合することを保証すること。
• de Rham鎖複体を用いて、ループ空間を、位相的および微分幾何的データを両方保持する形でモデル化すること。
• 得られた複体が、ストリングトポロジー作用素を反映する、定義された明確なフィルトレーションを保つ代数的構造を備えていることを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリングトポロジーにおけるチェーンレベルでの横断性の問題を、便宜的な摂動を用いずにどのように解消できるか？
• RQ2 ループ空間に対して、特異ホモロジーとde Rhamホモロジーの長所を統合する包括的な鎖複体を構築できるか？
• RQ3 この新しい複体を用いて定義されたストリングトポロジー作用素が、ループ空間上の自然な長さフィルトレーションを尊重するか？
• RQ4 幾何的鎖モデルを用いて、ループ積やBV作用素を内因的に定義することは可能か？
• RQ5 ストリングトポロジーの文脈において、ループ空間のde Rham鎖複体からどのような代数的構造が生じるか？

主な発見

• de Rham鎖複体は、幾何的で摂動の不要な枠組みを提供することで、ストリングトポロジーにおける横断性の問題を効果的に解消する。
• ループ積やBV作用素を含むストリングトポロジー作用素が、横断性の仮定なしに鎖複体上で直接定義可能である。
• すべての作用素がループ空間上の長さフィルトレーションを保存することが示され、幾何的および位相的構造と整合することが保証される。
• この構成により、特異鎖とde Rhamデータを統合する明確なチェーンレベルモデルが得られる。
• このフレームワークにより、ループ空間の下にある幾何的構造と整合する自然で内因的なストリングトポロジー作用素の定式化が可能になる。
• 得られた複合体は、既知のストリングトポロジー作用素を反映する一貫した代数的構造を備えており、摂動なしにチェーンレベルで実現される。