[論文レビュー] Trap models with vanishing drift: Scaling limits and aging regimes

Nina Gantert, Peter Moerters+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、漸近的に消えるドリフトを伴う整数格子上のトラップモデルを研究し、ドリフトの減衰速度に応じた3つの異なる定常的状態に基づいて、スケーリング極限とアーリング行動を確立する。ドリフトの減衰が臨界的中間的である場合、新たな極限過程—ドリフト付き Fontes-Isopi-Newman ディフュージョン—を同定し、ドリフトが消えるすべての状況で非線形的アーリング（γ < 1）を示すが、定常ドリフト下では γ = 1 と対照的である。

ABSTRACT

We discuss the long term behaviour of trap models on the integers with asymptotically vanishing drift, providing scaling limit theorems and ageing results. Depending on the tail behaviour of the traps and the strength of the drift, we identify three different regimes, one of which features a previously unobserved limit process.

研究の動機と目的

• Z 上の重たい尾を持つトラップ環境と消えるドリフトを伴う連続時間ランダムウォークの長期的挙動を理解すること。
• ドリフトの消える速度に応じて、そのスケーリング極限を分類すること。
• 時間間隔が t^γ のオーダーである間、過程が動かない確率における指数 γ を用いて、アーリング挙動を特徴づけること。
• 以前に観察されていなかった臨界的状態で、新たな極限過程—ドリフト付き Fontes-Isopi-Newman ディフュージョン—を同定すること。
• ドリフトが消える限り、アーリングは非線形的（γ < 1）であることを確立すること。これは、定常ドリフト下では γ = 1 であるのと対照的である。

提案手法

• モデルは、Z 上の連続時間近接隣接ランダムウォークとして定義され、サイト i における停止時間は、尾指数 α ∈ (0,1) を持つ i.i.d. の重たい尾を持つトラップ変数 τ_i に比例する。
• ドリフトは、非対称なジャンプレート p^N = 1/2(1 + μ/N^β) によって導入され、μ ≥ 0 かつ β ≥ 0 であり、N → ∞ の際に漸近的にドリフトが消える。
• スケーリング極限は、時間のスケーリング X^N_t = X_{Nt} を用いて導出され、β に基づく3つの定常的状態（遅い：β < 1、速い：β > 1、臨界的：β = 1）に分けられる。
• 点過程の収束とスケール関数の一様収束を用いて、極限過程への収束を確立する。
• アーリング指数 γ は、時間 t における粒子が位置するトラップの漸近的深さから導出され、スケーリングされたトラップサイズ τ_{X^N_t}/N^{1/(α+1)} の分布が用いられる。
• 点過程の収束と過程位置の弱収束に関する補題を用いて、スケーリングされたトラップサイズが極限分布に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトが漸近的に消える1次元トラップモデルのスケーリング極限は、ドリフトの減衰速度に応じてどのように変化するか？
• RQ2 ドリフトが特定の速度で消える臨界的状態では、新たな極限過程が出現するか？
• RQ3 アーリング挙動—P(X_t = X_{t+s} for all 0 ≤ s ≤ t^γ) における指数 γ によって測定される—は、ドリフトが消える場合と定常ドリフトの場合でどのように異なるか？
• RQ4 ドリフトが消えるすべての状況でアーリング指数 γ < 1 となるか？また、これは定常ドリフト下の γ = 1 と対照的であるか？
• RQ5 粒子が位置するトラップの漸近的深さを用いて、アーリング指数 γ を特徴づけることができるか？

主な発見

• ドリフトがゆっくりと消える状態（β < 1）では、スケーリングされたトラップモデルは、定常ドリフトの場合と一致する、安定劣微分作用素の逆数に法則収束する。
• ドリフトが速く消える状態（β > 1）では、スケーリングされた過程は Fontes-Isopi-Newman ディフュージョンに収束し、ドリフトなしの場合と同じ極限である。
• 臨界の中間的状態（β = 1）では、スケーリングされた過程は、以前にスケーリング極限として同定されていなかった、新たな極限過程に収束する：ドリフト付き Fontes-Isopi-Newman ディフュージョン。
• ドリフトが消えるすべての状況で、アーリング指数 γ は 1 よりも厳密に小さい。これは非線形的アーリングを示し、定常ドリフト下では γ = 1 であるのと対照的である。
• 粒子が位置するトラップの深さ τ_{X^N_t}/N^{1/(α+1)} の漸近的分布は、法則収束し、その極限確率変数 ρ(Fin^θ_t) がアーリング指数 γ を決定する。
• アーリング確率 P(X_t = X_{t+s} for all 0 ≤ s ≤ t^γ) は t → ∞ の際に (0,1) の値に収束し、ドリフトが消えるすべての状態的状態で非自明なアーリング挙動が確認される。